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第58頁

信息發(fā)布者：
解：（1）設(shè)圓錐母線長為$l，$底面半徑為$r。$
∵側(cè)面展開圖是半圓，
∴側(cè)面展開圖弧長為$\pi l。$
又
∵圓錐底面周長為$2\pi r，$且側(cè)面展開圖弧長等于底面周長，
∴$\pi l = 2\pi r，$即$l = 2r。$
∴母線長與底面半徑的比值為$2。$
（2）
∵圓錐高$h = 3\sqrt{3}，$由勾股定理得$l^2 = r^2 + h^2。$
又$l = 2r，$
∴$(2r)^2 = r^2 + (3\sqrt{3})^2，$
即$4r^2 = r^2 + 27，$解得$r^2 = 9，$$r = 3$（$r＞0$），則$l = 6。$
側(cè)面積$S_{側(cè)} = \frac{1}{2}\pi l^2 = \frac{1}{2}\pi×6^2 = 18\pi，$
底面積$S_{底} = \pi r^2 = 9\pi，$
全面積$S_{全} = S_{側(cè)} + S_{底} = 18\pi + 9\pi = 27\pi。$
$ 10\sqrt{2} $
解：
圓錐的底面半徑 $ r = 1 $，母線長 $ l = 6 $。 圓錐底面周長: $C = 2\pi r = 2\pi × 1 = 2\pi$。 設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形角度為 $ \theta $，則: $l × \theta = C \implies 6 × \theta = 2\pi \implies \theta = \frac{\pi}{3}$。 在展開的扇形中，螞蟻爬行的最短路線即為扇形的弦長。 弦長公式為: $L = 2l \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 × 6 × \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12 × \frac{1}{2} = 6$。 它爬行的最短路線的長度為$6$。
1
$1. 首先求AB的長：$
$因?yàn)閈angle BAC = 90^{\circ}，BC是圓的直徑，BC=\sqrt{2}\mathrm{m}。$
$根據(jù)勾股定理AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}，又因?yàn)锳B = AC（同圓中，$
$90^{\circ}圓周角所對的弧相等，弦相等）。$
$所以2AB^{2}=BC^{2}，將BC = \sqrt{2}代入可得2AB^{2}=(\sqrt{2})^{2}，$
$即2AB^{2}=2，解得AB = 1\mathrm{m}。$
$2. 然后求圓錐底面圓半徑：$
$解：設(shè)所得圓錐的底面圓半徑為r。$
$扇形ABC的弧長l=\frac{n\pi R}{180}（n = 90，R = AB = 1），則弧長$
$=\frac{90\pi×1}{180}=\frac{\pi}{2}。$
$因?yàn)閳A錐底面圓的周長C = 2\pi r，且圓錐底面圓的周長等于扇形的$
$弧長，即2\pi r=\frac{\pi}{2}。$
$兩邊同時(shí)除以\pi得2r=\frac{1}{2}，解得r=\frac{1}{4}\mathrm{m}。$
$綜上，（1）AB的長為1\mathrm{m}；（2）所得圓錐的底面圓半徑$
$為\frac{1}{4}\mathrm{m}。$
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3。
1. 求斜邊AB：由勾股定理，$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25，$得$AB = 5。$
2. 求斜邊上的高CD：由面積公式，$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD，$即$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 5 \times CD，$解得$CD = \frac{12}{5}$（即底面半徑$r = \frac{12}{5}$）。
3. 旋轉(zhuǎn)后幾何體為兩個(gè)同底圓錐的組合體，母線長分別為AC=3和BC=4。
4. 圓錐側(cè)面積公式$S = \pi rl，$兩圓錐側(cè)面積之和為表面積：
$S = \pi \times r \times AC + \pi \times r \times BC = \pi \times \frac{12}{5} \times 3 + \pi \times \frac{12}{5} \times 4 = \frac{36\pi}{5} + \frac{48\pi}{5} = \frac{84\pi}{5}。$
所得幾何體的表面積為$\frac{84\pi}{5}。$
【答案】：
D

【解析】：
設(shè)圓錐的底面半徑為 $r$，母線長為 $l$，圓錐側(cè)面展開圖所對應(yīng)的扇形圓心角為 $n{^\circ}$。
圓錐的底面積為$\pi r^{2}$，圓錐的側(cè)面積為$\pi rl$（其中$r$為底面半徑，$l$為母線長）。
根據(jù)題意，圓錐的側(cè)面積恰好等于其底面積的$2$倍，即：
$\pi rl = 2\pi r^{2}$，
由于$r \neq 0$（圓錐的底面半徑不可能為$0$），可以兩邊同時(shí)除以$\pi r$，得到：
$l = 2r$，
圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，其弧長等于圓錐底面的周長，即：
$2\pi r = \frac{n\pi l}{180}$，
將$l = 2r$代入上式，得到：
$2\pi r = \frac{n\pi \cdot 2r}{180}$，
同樣由于$r \neq 0$，可以兩邊同時(shí)除以$2\pi r$并乘以$180$，得到：
$n = 180$。
【答案】：
$10\sqrt{2}$

【解析】：
本題可先根據(jù)圓錐底面直徑求出底面周長，再結(jié)合扇形弧長公式求出扇形半徑，最后根據(jù)圓錐的母線長、底面半徑與高構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求出圓錐的高。
步驟一：求圓錐底面周長$C$。
已知圓錐底面直徑為$10cm$，根據(jù)圓的周長公式$C = \pi d$（其中$d$為圓的直徑），可得圓錐底面周長$C = 10\pi cm$。
步驟二：求扇形半徑$R$（即圓錐母線長）。
因?yàn)樵撋刃舞F皮圍成圓錐形工件的側(cè)面，所以扇形的弧長等于圓錐底面周長，即$l = 10\pi cm$。
已知扇形圓心角$n = 120^{\circ}$，根據(jù)扇形弧長公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$R$為扇形半徑），可得$10\pi=\frac{120\pi R}{180}$，
等式兩邊同時(shí)除以$\pi$得$10=\frac{120R}{180}$，
等式兩邊同時(shí)乘以$180$得$120R = 10×180$，
即$120R = 1800$，
解得$R = 15cm$，所以圓錐母線長為$15cm$。
步驟三：求圓錐的高$h$。
已知圓錐底面直徑為$10cm$，則底面半徑$r = 5cm$，圓錐的母線長$R = 15cm$。
由于圓錐的母線長、底面半徑與高構(gòu)成直角三角形，其中母線為斜邊，根據(jù)勾股定理$h = \sqrt{R^{2}-r^{2}}$，可得：
$h = \sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{225 - 25}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}cm$。
【答案】：
(1)1；(2)1/4 m

【解析】：
(1)圓形鐵皮直徑為√2 m，半徑為√2/2 m。扇形ABC中∠BAC=90°，要使扇形最大，A、B、C在圓上，∠BAC=90°，則BC為圓的直徑（90°圓周角所對弦為直徑），故BC=√2 m。在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理AB2+AC2=BC2，即2AB2=(√2)2=2，解得AB=1 m。
(2)扇形半徑AB=1 m，圓心角90°，弧長l=90·π·1/180=π/2 m。圓錐底面圓周長=弧長，即2πr=π/2，解得r=1/4 m。
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