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6cm或6.5cm

C

D

 過A、B、C三點能確定一個圓。理由如下：

 設經(jīng)過點$A(1, -1)$和點$B(-2, 5)$的直線方程為$y = kx + b。$

 代入$A(1, -1)，$得：$-1 = k + b\quad (1)$

 代入$B(-2, 5)，$得：$5 = -2k + b\quad (2)$

 聯(lián)立

 (1)和

 (2)解得：$k = -2，$$b = 1$

 所以，直線$AB$的方程為$y = -2x + 1。$

 將點$C(4, -6)$的坐標代入直線$AB$的方程驗證：

 左邊$=-6，$右邊$=-2×4 + 1=-8 + 1=-7，$因為$-6\neq -7，$所以點$C$不在直線$AB$上。

 由于點$A$、$B$、$C$不共線，根據(jù)確定圓的條件，不共線的三點可以確定一個圓，故過$A$、$B$、$C$三點能確定一個圓。

 解：過$ A $作$ AD \perp BC $于$ D ，$

 ∵$ AB = AC ，$

 ∴$ AD $垂直平分$ BC ，$$ D $為$ BC $中點。

 ∵$ BC = 12 ，$

 ∴$ BD = \frac{1}{2}BC = 6 。$

 在$ \text{Rt}\triangle ABD $中，$ AB = 10 ，$$ BD = 6 ，$

 由勾股定理得$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 。$

 設外接圓半徑為$ R ，$圓心$ O $在$ AD $上，$ OA = OB = R ，$設$ OD = x ，$則$ OD = AD - OA = 8 - R 。$

 在$ \text{Rt}\triangle OBD $中，由勾股定理得$ OB^2 = OD^2 + BD^2 ，$即$ R^2 = (8 - R)^2 + 6^2 。$

 展開得$ R^2 = 64 - 16R + R^2 + 36 ，$

 化簡得$ 16R = 100 ，$

 解得$ R = \frac{25}{4} 。$

 故$ \triangle ABC $外接圓的半徑為$ \frac{25}{4} 。$

$\frac{5}{2} $

(1,-2)

$設圓心 M(1,-2) ，點 A(-2,-1) ，$

$則半徑 r^2= MA^2 = (-2 - 1)^2 + [-1 - (-2)]^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10 ，$

$面積 S = \pi r^2 = 10\pi 。 $

答題卡：
1. 銳角三角形 $ABC$ 外接圓及外心：
分別作 $AB$，$BC$ 的垂直平分線，交點為 $O$，以 $O$ 為圓心，$OA$ 長為半徑作圓，$\odot O$ 即為 $\triangle ABC$ 的外接圓，外心 $O$ 在三角形內(nèi)部。
2. 直角三角形 $ABC$ 外接圓及外心：
分別作 $AB$，$AC$ 的垂直平分線，交點為 $O$，以 $O$ 為圓心，$OA$ 長為半徑作圓，$\odot O$ 即為 $\triangle ABC$ 的外接圓，外心 $O$ 為斜邊 $AC$ 的中點。
3. 鈍角三角形 $ABC$ 外接圓及外心：
分別作 $AB$，$BC$ 的垂直平分線，交點為 $O$，以 $O$ 為圓心，$OA$ 長為半徑作圓，$\odot O$ 即為 $\triangle ABC$ 的外接圓，外心 $O$ 在三角形外部。

【答案】：
5/2

【解析】：
設網(wǎng)格中小正方形邊長為1，建立坐標系，得A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)。
計算三邊長度：AB=4，BC=3，AC=√[(4-0)2+(3-0)2]=5。
∵AB2+BC2=42+32=25=AC2，∴△ABC是直角三角形，斜邊AC=5。
直角三角形外接圓半徑為斜邊一半，故最小覆蓋圓半徑為AC/2=5/2。

【答案】：
6cm或6.5cm

【解析】：
當5cm和12cm為直角邊時，斜邊為$\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$cm，外接圓半徑為斜邊一半，即$\frac{13}{2} = 6.5$cm；
當12cm為斜邊，5cm為直角邊時，外接圓半徑為斜邊一半，即$\frac{12}{2} = 6$cm。
綜上，外接圓半徑為6cm或6.5cm。

【答案】：
C

【解析】：

A. 已知圓心和半徑可以唯一確定一個圓。
B. 已知直徑時，直徑的中點為圓心，直徑的一半為半徑，可以確定一個圓。
C. 平面上的三個已知點，當三點共線時，無法確定一個圓；當三點不共線時，可以確定一個圓。因此，不能保證一定可以確定一個圓。
D. 三角形的三個頂點不共線，可以確定一個唯一的圓（外接圓）。

【答案】：
D

【解析】：
要使貓到三個出口 $A$、$B$、$C$ 的距離相等，才能同時顧及這三個出口。
根據(jù)幾何性質(zhì)，三邊垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等，因此貓應蹲守在 $\triangle ABC$ 的三邊垂直平分線的交點處。

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