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D

(4,4)

 過點(diǎn) $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 于點(diǎn) $ E 。$

 因?yàn)?$ OE \perp AB ，$由垂徑定理得：

 $ AE = BE ，$$ CE = DE 。$

 所以 $ AE - CE = BE - DE ，$即 $ AC = BD 。$

 因?yàn)?$ AC = 2 ，$所以 $ BD = 2 。$

 答案：$ 2 $

C

3 cm

 解：(1) 連接 $OQ，$因?yàn)?$AB$ 是直徑，所以 $\angle ACB = 90^\circ。$在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = 6，$$\angle ABC = 30^\circ，$則 $BC = AB \cdot \cos 30^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}。$由點(diǎn) $B(3,0)$ 和 $C\left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ 可得直線 $BC$ 的斜率 $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}，$其方程為 $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}。$

 因?yàn)?$PQ // AB，$$AB$ 為 $x$ 軸，所以 $PQ$ 斜率為 $0，$又 $OP \perp PQ，$則 $OP$ 斜率不存在，即點(diǎn) $P$ 橫坐標(biāo)為 $0。$將 $x = 0$ 代入直線 $BC$ 方程得 $P(0, \sqrt{3})，$故 $OP = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}。$

 在 $Rt\triangle OPQ$ 中，$OQ = 3，$所以 $PQ = \sqrt{OQ^2 - OP^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}。$

 (2) 因?yàn)?$OP \perp PQ，$所以 $PQ = \sqrt{OQ^2 - OP^2} = \sqrt{9 - OP^2}。$要使 $PQ$ 最大，需 $OP$ 最小，$OP$ 的最小值為點(diǎn) $O$ 到直線 $BC$ 的距離 $d。$直線 $BC$ 的方程可化為 $\sqrt{3}x + 3y - 3\sqrt{3} = 0，$則 $d = \frac{|0 + 0 - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2}。$

 因此，$PQ$ 的最大值為 $\sqrt{9 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}。$

 綜上，

 (1) $\sqrt{6}；$

 (2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}。$

【答案】：
D

【解析】：
1. 根據(jù)垂直于弦的直徑性質(zhì)，$OD \perp AB$，$D$為垂足，且$AB$是弦，因此$AD = BD$，選項(xiàng)A正確。
2. 由于$OD \perp AB$且$O$為圓心，$OA = OB$（半徑相等），因此$\triangle OAB$為等腰三角形，$OD$為對(duì)稱軸，所以$\angle AOE = \angle BOE$，選項(xiàng)B正確。
3. 由于$\angle AOE = \angle BOE$，根據(jù)圓心角相等，對(duì)應(yīng)的弧長相等，即$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BE}$，選項(xiàng)C正確。
4. 對(duì)于選項(xiàng)D，$OD$是從圓心到弦的垂線段，$E$是$OD$延長線上的點(diǎn)，$OD$不一定等于$DE$，除非$D$是$OE$的中點(diǎn)，但這并非必然成立，因此選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

【答案】：
D

【解析】：
設(shè)圓的半徑為$r$米，過圓心$O$作弦$AB$（水面寬）的垂線，垂足為$C$，則$AC = \frac{0.8}{2} = 0.4$米。由水深$0.2$米，得圓心到水面距離$OC = r - 0.2$。在$Rt\triangle OAC$中，$OA^2 = AC^2 + OC^2$，即$r^2 = 0.4^2 + (r - 0.2)^2$。解得$r = 0.5$，直徑為$2r = 1$米。

【答案】：
(4,4)

【解析】：
過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，連接PA。
∵A(2,0)，B(6,0)，∴AB=4，AC=BC=2，OC=OA+AC=4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,0)。
設(shè)P(4,y)，PA=2√5，AC=2，在Rt△PAC中，由勾股定理得：22+y2=(2√5)2，解得y=±4。
由圖知點(diǎn)P在x軸上方，∴y=4，故P(4,4)。

【答案】：
C

【解析】：

1. 作$OE \perp AB$于$E$，交$CD$于$F$，連$OA,OC$。由垂徑定理，$AE = \frac{AB}{2} = 3$，$CF = \frac{CD}{2} = 4$。
2. 在$\triangle OAE$中，$OA = 5$，由勾股定理得$OE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
3. 在$\triangle OCF$中，$OC = 5$，由勾股定理得$OF = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
4. 分兩種情況討論：
當(dāng)$AB,CD$在圓心同側(cè)時(shí)，距離為$|OE - OF| = |4 - 3| = 1$；
當(dāng)$AB,CD$在圓心兩側(cè)時(shí)，距離為$OE + OF = 4 + 3 = 7$。
綜上，距離為$1$或$7$，選C。

【答案】：
$3 cm$（或填數(shù)值3 ）

【解析】：
設(shè)圓的半徑為 $R$，過點(diǎn) $P$ 的最長弦為直徑，所以 $2R = 10$，即 $R = 5(cm)$。
過點(diǎn) $P$ 的最短弦是與過點(diǎn) $P$ 的直徑垂直的弦，設(shè)該弦為 $AB$，且 $AB = 8(cm)$，由于 $AB$ 是垂直于過 $P$ 的直徑的弦，根據(jù)垂徑定理可得：
$AP = \frac{AB}{2} = 4 (cm)$，
在直角三角形 $AOP$ 中，利用勾股定理，有：
$OP = \sqrt{R^{2} - AP^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3(cm)$。

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