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解：這里$a = 1，$$b = 1，$$c = -1。$

$首先計算判別式$

$b^{2}-4ac = 1^{2}-4×1×(-1)=1 + 4 = 5。$

由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

可得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}。$

即$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}，$$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}。$

解;這里$a = 1，$$b=-2\sqrt{3}，$$c = 3。$

判別式$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×1×3=12 - 12 = 0。$

由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\b2-4ac}}{2a}$

可得：$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\sqrt{3}。$

即$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}。$

 解：這里$a = 2，$$b=-2，$$c = 1。$

計算判別式$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×1=4 - 8=-4\lt0。$

$所以此方程在實數(shù)范圍內無解。$

 設三個一元二次方程分別為：方程1：$x^{2} - 4x + 4 = 0，$方程2：$x^{2} - 4x + 3 = 0，$方程3：$x^{2} - 4x + 5 = 0。$

 對于方程1：判別式$ b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4×1×4 = 0，$因為$\Delta = 0，$所以方程有兩個相等的實數(shù)根，解方程$x^{2} - 4x + 4 = 0，$得$x_{1} = x_{2} = 2。$

 對于方程2：判別式$ b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4×1×3 = 4，$因為$\Delta ＞ 0，$所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，解方程$x^{2} - 4x + 3 = 0，$得$x_{1} = 1，$$x_{2} = 3。$

 對于方程3：判別式$b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4×1×5 = -4，$因為$\Delta ＜ 0，$所以方程沒有實數(shù)根。

 方程解的情況與根的判別式的聯(lián)系：當b2-4ac$ ＞ 0$時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2-4ac=$= 0$時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac=$＜ 0$時，方程沒有實數(shù)根。

$b^{2}-4ac$

b2-4ac=

$0$

b2-4ac＞0

$b2-4ac＜0$

解：對于方程 $x^{2} -\ $2x + 2 = 0，

其中 $a = 1，$$b = -2，$c = 2，

計算判別式：b2-4ac=$\ = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4\times1\times2 = 4 - 8 = -4，$

由于$b2-4ac＜ 0，$

所以方程無實數(shù)根。

解：對于方程 $2x^{2} -\ $2x - 1 = 0，

其中 $a = 2，$$b = -2，$$c = -1，$

計算判別式：$b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4\times2\times(-1) = 4 + 8 = 12，$

由于b2-4ac= $＞ 0，$所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。

 解：對于方程 $\frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2 = 0，$首先化為整數(shù)系數(shù)：$x^{2} - 4x + 4 = 0，$其中 $a = 1，$$b = -4，$$c = 4，$計算判別式：$b2-4ac== b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4\times1\times4 = 16 - 16 = 0，$由于 $b2-4ac= = 0，$所以方程有兩個相等的實數(shù)根。

 解：(1)因為方程$(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$是一元二次方程且恒有實數(shù)根，所以$\begin{cases}m + 1\neq 0\\b2-4ac==(2m)^{2}-4(m + 1)(m - 3)\geqslant0\end{cases}。$由b2-4ac=$= 4m^{2}-4(m^{2}-3m + m- 3)=4(2m + 3)\geqslant0，$得$2m+3\geqslant0，$即$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1。$

(2)因為$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1，$所以$m$的最小整數(shù)為$0，$原方程為$x^{2}-3 = 0，$$x^{2}=3，$解得$x=\pm\sqrt{3}。$

兩

不相等

±4

4

【答案】：
判別式$\Delta =b^{2}-4ac$；$\Delta = 0$；$\Delta\gt 0$；$\Delta\lt 0$

【解析】：
本題可根據(jù)一元二次方程根的判別式的相關知識進行填空。
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的情況可由判別式$\Delta=b^{2}-4ac$決定：
當$\Delta = 0$時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
當$\Delta\gt 0$時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當$\Delta\lt 0$時，方程沒有實數(shù)根。

【答案】：
(1)兩；不相等；(2)±4；(3)4（答案不唯一）

【解析】：
(1) 對于方程$x^2 + 3x - 1 = 0$，判別式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，所以有兩個不相等的實數(shù)根。
(2) 方程$x^2 - kx + 4 = 0$有兩個相等實數(shù)根，判別式$\Delta = (-k)^2 - 4×1×4 = k^2 - 16 = 0$，解得$k = ±4$。
(3) 方程$x^2 - mx + 3 = 0$有實數(shù)根，判別式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×3 = m^2 - 12 ≥ 0$，取$m = 4$（滿足$m^2 ≥ 12$即可）。

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