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解：兩邊同除以3：$x2 - 4x + \frac{1}{3} = 0$
移項(xiàng)：$x2 - 4x = -\frac{1}{3}$
配方：$x2 - 4x + 4 = -\frac{1}{3} + 4，$即$(x - 2)2 = \frac{11}{3}$
開平方：$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
解得：$x = 2 \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
$∴x?=2 + \frac{\sqrt{33}}{3}，$$x?=2 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
解：兩邊同除以4：$x2 - 3x - \frac{1}{4} = 0$
移項(xiàng)：$x2 - 3x = \frac{1}{4}$
配方：$x2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}，$即$(x - \frac{3}{2})2 = \frac{5}{2}$
開平方：$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$
解得：$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}$
∴$x?=\frac{3 + \sqrt{10}}{2}，$$x?=\frac{3 - \sqrt{10}}{2}$
解： 兩邊同乘$-1$：$2x2 - x - 1 = 0$
兩邊同除以2：$x2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移項(xiàng)：$x2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
配方：$x2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}，$即$(x - \frac{1}{4})2 = \frac{9}{16}$
開平方：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得：$x = \frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$
∴$x?=1，$$x?=-\frac{1}{2}$
解;兩邊同乘2：$x2 - 4x - 2 = 0$
移項(xiàng)：$x2 - 4x = 2$
配方：$x2 - 4x + 4 = 2 + 4，$即$(x - 2)2 = 6$
開平方：$x - 2 = \pm \sqrt{6}$
解得：$x = 2 \pm \sqrt{6}$
∴$x?=2 + \sqrt{6}，$$x?=2 - \sqrt{6}$
2或-6
（1）已知方程$2x^{2}-3x + p = 0，$兩邊同時(shí)除以$2$得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{p}{2}=0。$
配方：$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}+\frac{p}{2}=0，$即$(x - \frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}-\frac{p}{2}。$
因?yàn)?(x + m)^{2}=\frac{1}{2}，$所以$m=-\frac{3}{4}，$$\frac{9}{16}-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}。$
由$\frac{9}{16}-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}，$通分得$\frac{9}{16}-\frac{8}{16}=\frac{p}{2}，$$\frac{p}{2}=\frac{1}{16}，$解得$p=\frac{1}{8}。$
（2）因?yàn)?(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{2}，$
開平方得$x-\frac{3}{4}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}。$
當(dāng)$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$x=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}；$
當(dāng)$x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$x=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}。$
綜上，（1）$p = \frac{1}{8}，$$m=-\frac{3}{4}；$（2）方程的解為$x_{1}=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}，$$x_{2}=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}。$
小明的猜想正確。證明如下：
$\begin{aligned}-2x^{2}+4x - 5&=-2(x^{2}-2x)-5\\&=-2(x^{2}-2x + 1 - 1)-5\\&=-2[(x - 1)^{2}-1]-5\\&=-2(x - 1)^{2}+2 - 5\\&=-2(x - 1)^{2}-3\end{aligned}$
因?yàn)?(x - 1)^{2}\geq0，$所以$-2(x - 1)^{2}\leq0，$則$-2(x - 1)^{2}-3\leq - 3\lt0。$
結(jié)論：無論$x$取何值，代數(shù)式$-2x^{2}+4x - 5$的值都小于$0。$

【答案】：
$2$或$-6$（或填 $-6$或$2$）

【解析】：
將方程 $4x^{2}-(m + 2)x + 1 = 0$ 的左邊寫成完全平方式，即 $ax^2 + bx + c = (px \pm q)^2$ 的形式，其中 $a=4$，所以 $p^2 = 4$，得 $p = \pm2$。
設(shè) $4x^2 - (m + 2)x + 1 = (2x \pm 1)^2$，展開右邊得 $4x^2 \pm 4x + 1$。
比較系數(shù)，對(duì)于 $x$ 的系數(shù)，有 $-(m + 2) = \pm 4$。
若 $-(m + 2) = 4$，則 $m = -6$。
若 $-(m + 2) = -4$，則 $m = 2$。
所以 $m$ 的值為 $2$ 或 $-6$。
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