(1)解：對于直線$y = -\sqrt{3}x + 5\sqrt{3}，$令$y=0，$則$-\sqrt{3}x + 5\sqrt{3}=0，$解得$x=5，$所以點$D$的坐標為$(5,0)。$
因為點$M$的坐標為$(0,\sqrt{3})，$$AC$是$\odot M$的直徑，所以$M$是$AC$的中點。設$A(a,0)，$$C(c,d)，$則$\frac{a + c}{2}=0，$$\frac{0 + d}{2}=\sqrt{3}，$所以$c=-a，$$d=2\sqrt{3}，$即點$C$的坐標為$(-a,2\sqrt{3})。$
因為點$C$在直線$y = -\sqrt{3}x + 5\sqrt{3}$上，所以$2\sqrt{3}=-\sqrt{3}(-a)+5\sqrt{3}，$解得$a=-3，$所以點$A$的坐標為$(-3,0)。$
因為$\odot M$與$x$軸交于$A$、$B$兩點，$M$在$y$軸上，所以$MA=MB，$$AB$垂直于$y$軸，$M$到$A$、$B$的距離相等，所以$A$、$B$關于$y$軸對稱，點$A$的坐標為$(-3,0)，$所以點$B$的坐標為$(3,0)。$
所以$BC$的長為$\sqrt{(3 - (-3))^{2}+(0 - 2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{36 + 12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}。$
(2)解：由
(1)知點$A$的坐標為$(-3,0)，$$c=-a=3，$$d=2\sqrt{3}，$所以點$C$的坐標為$(3,2\sqrt{3})。$
$\odot M$的半徑$MA=\sqrt{(-3 - 0)^{2}+(0 - \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9 + 3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}。$
綜上，
(1)點$D$的坐標為$(5,0)，$$BC$的長為$4\sqrt{3}；$
(2)點$C$的坐標為$(3,2\sqrt{3})，$$\odot M$的半徑為$2\sqrt{3}。$
