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第55頁(yè)

信息發(fā)布者：
解：連接OD、OE，如圖所示：
因?yàn)镽t△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AC、BC分別相切于點(diǎn)D、E，
所以O(shè)D⊥AC，OE⊥BC，且OD=OE=r。
又因?yàn)椤螩=90°，
所以四邊形CEOD為矩形，且OD=OE，
因此四邊形CEOD為正方形，
所以CD=CE=OD=OE=r。
因?yàn)镸N切⊙O于點(diǎn)P，分別交CD、CE于點(diǎn)M、N，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得MP=MD，NP=NE。
所以Rt△CMN的周長(zhǎng)=CM+CN+MN
=CM+CN+PM+PN
=CM+MD+CN+NE
=CD+CE
=r+r
=2r。
故Rt△CMN的周長(zhǎng)為2r。
解：因?yàn)椤袿是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為切點(diǎn)，所以AD=AF，BE=BD，CF=CE。設(shè)AD=AF=x，BE=BD=y，CF=CE=z。
已知AB=18，BC=14，CA=12，根據(jù)三角形邊長(zhǎng)關(guān)系可得：
$\begin{cases}x + y = 18 \\x + z = 12 \\y + z = 14\end{cases}$
將三個(gè)方程相加可得：$2(x + y + z)=18 + 12 + 14=44，$則$x + y + z=22。$
所以：
$x=22-(y + z)=22 - 14=8，$即AD=8；
$y=22-(x + z)=22 - 12=10，$即BE=10；
$z=22-(x + y)=22 - 18=4，$即CF=4。
綜上，AD的長(zhǎng)為8，BE的長(zhǎng)為10，CF的長(zhǎng)為4。
解：連接OE、OF。
設(shè)AD = x，由切線長(zhǎng)定理得AF = x。
因?yàn)椤袿與Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，所以O(shè)E⊥BC，OF⊥AC。
又因?yàn)椤螩 = 90°，所以四邊形OECF為矩形，而OE = OF = r = 2，故四邊形OECF為正方形，因此CE = CF = 2。
已知BC = 5，則BE = BC - CE = 5 - 2 = 3，由切線長(zhǎng)定理得BD = BE = 3，所以AB = AD + BD = x + 3。
AC = AF + CF = x + 2，BC = 5。
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2 + BC2 = AB2，即(x + 2)2 + 52 = (x + 3)2。
展開(kāi)得x2 + 4x + 4 + 25 = x2 + 6x + 9，化簡(jiǎn)得2x = 20，解得x = 10。
所以AC = 10 + 2 = 12，AB = 10 + 3 = 13。
△ABC的周長(zhǎng)為AC + BC + AB = 12 + 5 + 13 = 30。
答：△ABC的周長(zhǎng)為30。
（1）證明：連接CD、OD，如圖所示。
∵AC是直徑，∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切線。
又
∵DE是⊙O的切線，
∴ED=EC，∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA。
又
∵∠OAD+∠DBE=90°，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∴EB=EC。
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵四邊形ODCE是正方形，
∴OC=CE，∠OCE=90°。
∵OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，CE=EB（由（1）知EB=EC），
∴AC=2OC=2CE=CE+EB=BC，
又
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
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