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電子課本網(wǎng) 第42頁(yè)

第42頁(yè)

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28或152
$\triangle ABC$是等邊三角形,理由如下:
$\because$ 點(diǎn)$A,$$B,$$C,$$P$在$\odot O$上,
$\therefore \angle BAC$與$\angle CPB$都是$\overset{\frown}{BC}$所對(duì)的圓周角,$\angle ABC$與$\angle APC$都是$\overset{\frown}{AC}$所對(duì)的圓周角,
$\therefore \angle BAC=\angle CPB,$$\angle ABC=\angle APC,$
$\because \angle APC=\angle CPB=60^{\circ},$
$\therefore \angle BAC=\angle ABC=60^{\circ},$
$\because$ 在$\triangle ABC$中,$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ},$
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ},$
$\therefore \angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ},$
$\therefore \triangle ABC$是等邊三角形。
$\angle BAC < \angle BDC,$理由如下:
延長(zhǎng)$BD,$交$\odot O$于點(diǎn)$E,$連接$CE。$
因?yàn)辄c(diǎn)$A$、$E$在$\odot O$上,所以$\angle BAC$和$\angle BEC$都是$\overset{\frown}{BC}$所對(duì)的圓周角,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等,可得$\angle BAC = \angle BEC。$
在$\triangle DEC$中,$\angle BDC$是外角,根據(jù)三角形外角的性質(zhì),外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和,即$\angle BDC = \angle BEC + \angle DCE。$
因?yàn)?\angle DCE > 0^\circ,$所以$\angle BEC = \angle BDC - \angle DCE < \angle BDC。$
又因?yàn)?\angle BAC = \angle BEC,$所以$\angle BAC < \angle BDC。$
解:過(guò)點(diǎn)$O$作$EF \perp AB,$垂足為$E,$交$CD$于點(diǎn)$F,$直線$EF$與圓$O$相交于點(diǎn)$G,$$H。$
∵$EF \perp AB,$
∴$AE = BE,$$\widehat{AG} = \widehat{BG}。$
同理可得$\widehat{CH} = \widehat{DH}。$
∵$\widehat{GH} = \widehat{GH},$
∴$\widehat{GH} - \widehat{AG} - \widehat{CH} = \widehat{GH} - \widehat{BG} - \widehat{DH},$
∴$\widehat{AC} = \widehat{BD}。$
證明:因?yàn)?$OD \perp AB,$所以 $\angle AOD = \angle BOD = 90^\circ。$
因?yàn)?$\angle ACD$ 是 $\overset{\frown}{AD}$ 所對(duì)的圓周角,$\angle AOD$ 是 $\overset{\frown}{AD}$ 所對(duì)的圓心角,所以 $\angle ACD = \frac{1}{2}\angle AOD。$
同理,$\angle BCD = \frac{1}{2}\angle BOD。$
因此,$\angle ACD = \angle BCD,$即 $CD$ 平分 $\angle ACB。$