解：連接 $ OB 。$
因為半徑 $ OA $ 垂直于弦 $ BC ，$根據垂徑定理，可得 $ BC = 2BD 。$
已知 $ OD = 4 ，$$ AD = 1 ，$則 $ OA = OD + AD = 4 + 1 = 5 ，$即 $ OB = OA = 5 $（半徑相等）。
在 $ \text{Rt}\triangle OBD $ 中，由勾股定理得：
$ BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 。$
因此，$ BC = 2BD = 2 \times 3 = 6 。$
在 $ \text{Rt}\triangle ABD $ 中，$ AD = 1 ，$$ BD = 3 ，$由勾股定理得：
$ AB = \sqrt{BD^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} 。$
綜上，$ BC $ 的長為 $ 6 ，$$ AB $ 的長為 $ \sqrt{10} 。$
