(1)證明：對于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0，$其判別式$\Delta = [-(2k + 1)]^2 - 4(k^2 + k)。$
計算可得：$\Delta = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k = 1。$
因為$\Delta = 1 ＞ 0，$所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根。
(2)解：解方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0，$由求根公式可得$x = \frac{(2k + 1) \pm \sqrt{1}}{2}，$即$x_1 = k，$$x_2 = k + 1。$
因為$\triangle ABC$的兩邊$AB$、$AC$的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊$BC$的長為$5，$且$\triangle ABC$是等腰三角形，所以分以下情況討論：
情況一：當(dāng)$AB = AC$時，即$k = k + 1，$此方程無解，故這種情況不成立。
情況二：當(dāng)$AB = BC = 5$時，則$k = 5，$此時$AC = k + 1 = 5 + 1 = 6。$
此時三角形的三邊長分別為$5，$$5，$$6。$因為$5 + 5 ＞ 6，$$5 + 6 ＞ 5，$滿足三角形三邊關(guān)系，所以這種情況成立。
情況三：當(dāng)$AC = BC = 5$時，則$k + 1 = 5，$解得$k = 4，$此時$AB = k = 4。$
此時三角形的三邊長分別為$4，$$5，$$5。$因為$4 + 5 ＞ 5，$$5 + 5 ＞ 4，$滿足三角形三邊關(guān)系，所以這種情況成立。
綜上，$k$的值為$4$或$5。$
