(1)解：因?yàn)榉匠?x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}=0$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以判別式$\Delta=(2m - 1)^{2}-4\times1\times m^{2}\geq0。$
展開(kāi)可得：$4m^{2}-4m + 1-4m^{2}\geq0，$
化簡(jiǎn)得：$-4m + 1\geq0，$
移項(xiàng)得：$-4m\geq - 1，$
兩邊同時(shí)除以$-4$（不等號(hào)變向）：$m\leq\frac{1}{4}。$
(2)解：當(dāng)$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$時(shí)，即$(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=0，$所以$x_{1}+x_{2}=0$或$x_{1}-x_{2}=0。$
當(dāng)$x_{1}+x_{2}=0$時(shí)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，$x_{1}+x_{2}=-(2m - 1)，$所以$-(2m - 1)=0，$解得$m=\frac{1}{2}。$又因?yàn)橛?/div>
(1)知$m\leq\frac{1}{4}，$所以$m = \frac{1}{2}$不成立，故此時(shí)$m$無(wú)解。
當(dāng)$x_{1}-x_{2}=0$時(shí)，$x_{1}=x_{2}，$方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以判別式$\Delta=(2m - 1)^{2}-4\times1\times m^{2}=0，$即$-4m + 1=0，$解得$m=\frac{1}{4}。$
綜上所述，當(dāng)$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$時(shí)，$m=\frac{1}{4}。$
