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$\frac{\sqrt{3}}{2}a$

$4 \sqrt{5} cm$

1

 （1）DE是⊙O的切線(xiàn)，理由如下：

 連接OD，

 ∵OA=OD，

 ∴∠OAD=∠ODA，

 ∵AD平分∠BAC，

 ∴∠CAD=∠OAD，

 ∴∠CAD=∠ODA，

 ∴OD//AC，

 ∵DE⊥AC，

 ∴OD⊥DE，

 ∵OD是⊙O的半徑，

 ∴DE是⊙O的切線(xiàn)。

 （2）過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，連接CD，

 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DP⊥AB，DE=4，

 ∴DP=DE=4，∠AED=∠APD=90°，

 ∵⊙O的半徑為5，

 ∴OD=OA=5，

 在Rt△ODP中，OP2=OD2-DP2=52-42=9，

 ∴OP=3，

 ∴AP=OA+OP=5+3=8，

 在Rt△AED和Rt△APD中，

 ∵AD=AD，DE=DP，

 ∴△AED≌△APD（HL），

 ∴AE=AP=8，

 ∵DE是⊙O的切線(xiàn)，

 ∴∠EDC=∠EAD，

又

 ∵∠E=∠E，

 ∴△CED∽△DEA，

 ∴$\frac{DE}{CE}=\frac{AE}{DE}，$

 ∴DE2=AE·CE，

 ∴$CE=\frac{DE2}{AE}=\frac{42}{8}=2，$

 ∴AC=AE-CE=8-2=6。

 解：

 ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，$BC=\sqrt{2}$

 ∴$AC=BC=\sqrt{2}$

 根據(jù)勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 2}=2$

 ∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ADE重合

 ∴旋轉(zhuǎn)角∠DAB=∠CAE，且AB=AD=2，AC=AE=$\sqrt{2}$

 在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=45°，故∠DAB=45°，即旋轉(zhuǎn)角為45°

 線(xiàn)段BC掃過(guò)的面積為扇形BAD的面積減去扇形CAE的面積

 扇形BAD的面積：$S_{扇形BAD}=\frac{45\pi \times AB^2}{360}=\frac{45\pi \times 2^2}{360}=\frac{\pi}{2}$

 扇形CAE的面積：$S_{扇形CAE}=\frac{45\pi \times AC^2}{360}=\frac{45\pi \times (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{\pi}{4}$

 ∴掃過(guò)部分的面積：$S_{陰影}=S_{扇形BAD}-S_{扇形CAE}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

 答：線(xiàn)段BC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)部分的面積為$\frac{\pi}{4}.$

【答案】：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$

【解析】：
連接正六邊形的中心與任意兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，形成一個(gè)等邊三角形，其邊長(zhǎng)為$a$。正六邊形內(nèi)切圓的半徑即為該等邊三角形的高。根據(jù)等邊三角形高的計(jì)算公式，高$h = \frac{\sqrt{3}}{2} ×$邊長(zhǎng)，所以?xún)?nèi)切圓半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$

【答案】：
$4 \sqrt{5} cm$

【解析】：
設(shè)半圓的圓心為$O$，半徑為$r$，小正方形邊長(zhǎng)為$a$，大正方形邊長(zhǎng)為$b$。
小正方形面積為$16\ cm^2$，則$a^2 = 16$，$a = 4\ cm$。
連接圓心與大正方形右上頂點(diǎn)，由勾股定理得$r^2 = b^2 + \left(\frac{2}\right)^2$；連接圓心與小正方形右上頂點(diǎn)，得$r^2 = a^2 + \left(\frac{2} + a\right)^2$。
將$a = 4$代入，聯(lián)立方程：
$\begin{cases}r^2 = b^2 + \frac{b^2}{4} = \frac{5b^2}{4} \\r^2 = 16 + \left(\frac{2} + 4\right)^2\end{cases}$
解得$b = 8$，則$r^2 = \frac{5× 64}{4} = 80$，$r = 4\sqrt{5}\ cm$。
$4\sqrt{5}\ cm$

【答案】：
1

【解析】：
在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，由勾股定理得BC=√(AB2-AC2)=√(102-82)=6。AP=2，故PC=AC-AP=6。
設(shè)⊙O半徑為r，圓心O在BP上，過(guò)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，則OD=OE=r，OD//BC。
PC=BC=6，故△BCP為等腰直角三角形，∠BPC=45°，△ODP為等腰直角三角形，PD=OD=r，OP=√2r。
AD=AP+PD=2+r，點(diǎn)O坐標(biāo)為(r+2, r)。
直線(xiàn)AB：過(guò)點(diǎn)A(8,0)、B(0,6)，方程為3x+4y=24。
點(diǎn)O(r+2, r)在直線(xiàn)AB上，代入得3(r+2)+4r=24，解得r=1。
1

【答案】：
解：∵△ABC是等腰三角形，$BC=\sqrt{2}$
∴$AC=\sqrt{2}，$AB=2，∠DAB=45°
∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與△ADE重合
∴S_{△ABC}=S_{△ADE}，AB=AD=2，
$AC=AE=\sqrt{2}，$∠CAE=∠DAB=45°
∴S_{陰影部分}=S_{扇形BAD}-S_{△ABC}+S_{△ADE}-S_{扇形CAE}
=S_{扇形BAD}-S_{扇形CAE}
$=\frac {45\pi ×2^2}{360}-\frac {45\pi ×( \sqrt{2} ) ^2}{360}$
$=\frac {\pi}{4}$
∴線(xiàn)段BC在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為$\frac {\pi}{4}.$

【解析】：

∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠E=90°，BC=√2，
∴AC=BC=√2，∠BAC=45°，
由勾股定理得AB=√(AC2+BC2)=√((√2)2+(√2)2)=2，
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ADE重合，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠BAD=∠BAC=45°，
線(xiàn)段BC掃過(guò)部分的面積為扇形BAD的面積，
S= (45°π×AB2)/360° = (45°π×22)/360° = π/4 。

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