【答案】：
C
【解析】：
①解方程$x^2 - x - 2 = 0$，$(x - 2)(x + 1)=0$，根為$x_1=2$，$x_2=-1$，$2$不是$-1$的$2$倍，$-1$不是$2$的$2$倍，不是倍根方程，①錯誤；
②方程$(x - 2)(mx + n)=0$的根為$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。若$2 = 2×(-\frac{n}{m})$，則$-\frac{n}{m}=1$，$n=-m$，$4m^2 + 5mn + n^2=4m^2 - 5m^2 + m^2=0$；若$-\frac{n}{m}=2×2=4$，則$n=-4m$，$4m^2 + 5mn + n^2=4m^2 - 20m^2 + 16m^2=0$，②正確；
③方程$px^2 + 3x + q = 0$，兩根$x_1$，$x_2$，$x_1x_2=\frac{q}{p}=2$（$pq=2$），$x_1 + x_2=-\frac{3}{p}$。設$x_2=2x_1$，則$x_1\cdot2x_1=2$，$x_1^2=1$，$x_1=\pm1$。若$x_1=1$，則$x_2=2$，$1 + 2=3=-\frac{3}{p}$，$p=-1$，$q=-2$，方程$-x^2 + 3x - 2 = 0$，根為$1$和$2$；若$x_1=-1$，則$x_2=-2$，$-1 + (-2)=-3=-\frac{3}{p}$，$p=1$，$q=2$，方程$x^2 + 3x + 2 = 0$，根為$-1$和$-2$，是倍根方程，③正確；
④設方程$ax^2 + bx + c = 0$兩根為$t$，$2t$，則$t + 2t=-\frac{a}$，$t=-\frac{3a}$，$t\cdot2t=\frac{c}{a}$，$2t^2=\frac{c}{a}$，$2(-\frac{3a})^2=\frac{c}{a}$，$\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}$，$2b^2=9ac$，④正確。
正確個數(shù)為$3$個，答案選C。
