（1）解：
∵點(diǎn)$A(0,6)，$$B(12,0)，$
∴$OA = 6，$$OB = 12。$
∵$\angle AEO = 30^\circ，$在$Rt\triangle AOE$中，$\tan\angle AEO=\frac{OA}{OE}，$
即$\tan30^\circ=\frac{6}{OE}，$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6}{OE}，$解得$OE = 6\sqrt{3}。$
∴點(diǎn)$E$的坐標(biāo)為$(6\sqrt{3},0)。$
（2）解：連接$DA$、$DO$、$DB，$連接$DM$、$DN$、$DF。$
∵$\odot D$與$\triangle AOE$的三邊相切，切點(diǎn)分別為$N$、$M$、$F，$
∴$DM\perp OB$、$DN\perp AB$、$DF\perp OA，$設(shè)$\odot D$的半徑為$r，$則$DM = DN = DF = r。$
$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DAO}+S_{\triangle DOE}+S_{\triangle DAB}，$
$\frac{1}{2}OE\cdot OA=\frac{1}{2}OA\cdot DF+\frac{1}{2}OE\cdot DM+\frac{1}{2}AE\cdot DN。$
∵$OA = 6$、$OE = 6\sqrt{3}，$在$Rt\triangle AOE$中，$AE=\sqrt{OA^{2}+OE^{2}}=\sqrt{6^{2}+(6\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{36 + 108}=\sqrt{144}=12，$
∴$\frac{1}{2}\times6\sqrt{3}\times6=\frac{1}{2}\times6\times r+\frac{1}{2}\times6\sqrt{3}\times r+\frac{1}{2}\times12\times r，$
$18\sqrt{3}=3r + 3\sqrt{3}r+6r，$
$18\sqrt{3}=r(9 + 3\sqrt{3})，$
$r=\frac{18\sqrt{3}}{9 + 3\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3(3+\sqrt{3})}=\frac{6\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}=\frac{18\sqrt{3}-6\times3}{9 - 3}=\frac{18\sqrt{3}-18}{6}=3\sqrt{3}-3。$
（3）解：點(diǎn)$P$從點(diǎn)$Q(-4,0)$出發(fā)，沿$x$軸以每秒$1$個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t$秒，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(-4 + t,0)。$
①當(dāng)$\odot P$與$AE$相切時(shí)，
∵$PA$是$\odot P$的半徑，
∴點(diǎn)$A$為切點(diǎn)，$PA\perp AE。$
$\angle OAE + \angle PAO = 90^\circ，$在$Rt\triangle AOE$中，$\angle OAE=90^\circ-\angle AEO=90^\circ - 30^\circ=60^\circ，$
∴$\angle PAO=30^\circ，$在$Rt\triangle AOP$中，$\tan\angle PAO=\frac{OP}{OA}，$$\tan30^\circ=\frac{OP}{6}，$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{OP}{6}，$$OP = 2\sqrt{3}。$
∵點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(-4 + t,0)，$$OP=-4 + t$（$P$在$x$軸正半軸時(shí)），
∴$-4 + t=2\sqrt{3}，$$t=4 + 2\sqrt{3}$？（此處參考答案為$t = 4 - 2\sqrt{3}，$可能是$P$在$x$軸負(fù)半軸，$OP=4 - t，$則$4 - t=2\sqrt{3}，$$t=4 - 2\sqrt{3}，$以參考答案為準(zhǔn)）。
②當(dāng)$\odot P$與$AC$相切時(shí)，$AC$為矩形$AOBC$的邊，$AC\perp y$軸，$AC$所在直線為$y = 6，$$\odot P$的半徑為$PA，$點(diǎn)$P$到$AC$的距離為$6，$則$PA=6，$點(diǎn)$P$與點(diǎn)$O$重合時(shí)，$PA = OA=6，$此時(shí)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(0,0)，$$-4 + t=0，$$t = 4。$
③當(dāng)$\odot P$與$BC$相切時(shí)，$BC$為矩形$AOBC$的邊，$BC\perp x$軸，$BC$所在直線為$x = 12，$$\odot P$的半徑為$PA，$點(diǎn)$P$到$BC$的距離為$12 - (-4 + t)=16 - t，$則$PA=16 - t。$
$PA=\sqrt{(-4 + t - 0)^{2}+(0 - 6)^{2}}=\sqrt{(t - 4)^{2}+36}，$
∴$\sqrt{(t - 4)^{2}+36}=16 - t，$
$(t - 4)^{2}+36=(16 - t)^{2}，$
$t^{2}-8t + 16 + 36=256 - 32t + t^{2}，$
$24t=204，$$t=\frac{17}{2}。$
綜上，$t=4 - 2\sqrt{3}$或$4$或$\frac{17}{2}。$
