【答案】：
$10-5\sqrt{2}$.

【解析】：
設$DF = x\ cm$，則$BE = DF = x\ cm$。
因為四邊形$AEQP$是正方形，$AB = 10\ cm$，所以$AE = AB - BE = 10 - x\ cm$，即正方形$AEQP$的邊長為$10 - x\ cm$，其面積為$(10 - x)^2\ cm^2$。
矩形$ABCD$中，$AD = BC = 15\ cm$，$AP = AE = 10 - x\ cm$，所以$PF = AD - AP - DF = 15 - (10 - x) - x = 5\ cm$。
因為四邊形$PGHF$是正方形，所以其邊長為$PF = 5\ cm$，面積為$5^2 = 25\ cm^2$。
原矩形面積為$AB × BC = 10 × 15 = 150\ cm^2$，余下部分面積是原矩形面積的一半，所以剪去的兩個正方形面積之和為$150 - \frac{150}{2} = 75\ cm^2$。
可得方程：$(10 - x)^2 + 25 = 75$，即$(10 - x)^2 = 50$，解得$10 - x = \pm 5\sqrt{2}$。
因為邊長不能為負，所以$10 - x = 5\sqrt{2}$（$10 - x = -5\sqrt{2}$舍去），則$x = 10 - 5\sqrt{2}$。
$10 - 5\sqrt{2}$

【答案】：
解：設相遇處距離目標C x海里.
依題意得，$( 200+200-x ) ^2=9[100^2+( 100-x ) ^2]$
解得，$x_1=25，$$x_2=100$
答：相遇處距離目標C 25海里或100海里.

【解析】：
以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標系。則A(0,0)，B(0,-200)，C(200,-200)，D為AC中點，坐標為(100,-100)。
設補給船速度為v，軍艦速度為3v，相遇時間為t。
軍艦從A到B需時間$\frac{200}{3v}$。
情況1：軍艦在B到C途中相遇（$t ＞ \frac{200}{3v}$），此時軍艦坐標為$(3v(t - \frac{200}{3v}), -200) = (3vt - 200, -200)$。
補給船坐標為$(100 + v t \cos\theta, -100 + v t \sin\theta)$，因相遇時坐標相同，可得：
$\begin{cases}3vt - 200 = 100 + v t \cos\theta \\-200 = -100 + v t \sin\theta\end{cases}$
由第二個方程得$v t \sin\theta = -100$，第一個方程得$v t \cos\theta = 3vt - 300$。
又$(v t \cos\theta)^2 + (v t \sin\theta)^2 = (vt)^2$，代入得：
$(3vt - 300)^2 + (-100)^2 = (vt)^2$
令$s = vt$，則$(3s - 300)^2 + 10000 = s^2$，解得$s = 100$或$s = 125$。
當$s = 100$時，$t = \frac{100}{v} ＜ \frac{200}{3v}$（舍去，此時軍艦未到B）；當$s = 125$時，$t = \frac{125}{v} ＞ \frac{200}{3v}$，軍艦橫坐標為$3s - 200 = 175$，距離C為$200 - 175 = 25$ n mile。
情況2：軍艦在A到B途中相遇（$t \leq \frac{200}{3v}$），軍艦坐標為$(0, -3vt)$，補給船坐標為$(100 + v t \cos\theta, -100 + v t \sin\theta)$，相遇時：
$\begin{cases}0 = 100 + v t \cos\theta \\-3vt = -100 + v t \sin\theta\end{cases}$
解得$s = vt = 100$，$t = \frac{100}{v} ＜ \frac{200}{3v}$，軍艦橫坐標為0，距離C為200 n mile（但題目明確“軍艦在由目標B到目標C的途中與補給船相遇”，此情況舍去）。
綜上，相遇處距離目標C 25 n mile。
25 n mile