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電子課本網(wǎng) 第124頁(yè)

第124頁(yè)

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證明:
∵ 四邊形 $ACFE$ 是正方形,
∴ $AC = AE = EF = CF = b,$$\angle ACF = \angle AEF = 90^\circ。$
由題意知,兩個(gè)直角三角形全等,設(shè)直角邊分別為 $a$(短直角邊)、$b$(長(zhǎng)直角邊),斜邊為 $c。$
則 $AD = AB = c,$$DE = BC = a,$$AE = AC = b。$
計(jì)算 $BF$ 的長(zhǎng)度:
∵ $CF = b,$$BC = a,$且點(diǎn) $B$ 在 $CF$ 上,
∴ $BF = CF - BC = b - a。$
計(jì)算四邊形 $ABED$ 的面積(方法一:分割為 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADE$):
$\triangle ABE$ 中,$AE = b,$$AE$ 邊上的高為 $AC = b$($\angle CAE = 90^\circ$),
∴ $S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \times AE \times AC = \frac{1}{2}b^2。$
$\triangle ADE$ 中,$AE = b,$$DE = a,$$\angle AED = 90^\circ,$
∴ $S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} \times AE \times DE = \frac{1}{2}ab。$
故 $S_{四邊形ABED} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab。$
計(jì)算四邊形 $ABED$ 的面積(方法二:分割為 $\triangle ADB$ 和 $\triangle DEB$):
$\triangle ADB$ 中,$AD = AB = c,$$\angle BAD = 90^\circ,$
∴ $S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2}c^2。$
$\triangle DEB$ 中,$DE = a,$$BF = b - a$($BF$ 為 $DE$ 邊上的高),
∴ $S_{\triangle DEB} = \frac{1}{2} \times DE \times BF = \frac{1}{2}a(b - a)。$
故 $S_{四邊形ABED} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle DEB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)。$
聯(lián)立面積等式:
$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a),$
兩邊同乘 2 消去分母:
$b^2 + ab = c^2 + a(b - a),$
展開(kāi)右側(cè):$b^2 + ab = c^2 + ab - a^2,$
移項(xiàng)化簡(jiǎn):$b^2 + a^2 = c^2。$
即證得勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2。$
解:設(shè)卡車(chē)開(kāi)到$C$處居民樓開(kāi)始受到影響,行駛到$D$處時(shí)居民樓受噪聲的影響結(jié)束,則有$CA = DA = 100\ \text{m}。$
過(guò)點(diǎn)$A$作$AB \perp MN$于點(diǎn)$B,$已知點(diǎn)$A$到公路$MN$的距離為$80\ \text{m},$即$AB = 80\ \text{m}。$
在$\text{Rt}\triangle ABC$中,根據(jù)勾股定理:
$CB=\sqrt{CA^2 - AB^2}=\sqrt{100^2 - 80^2}=\sqrt{10000 - 6400}=\sqrt{3600}=60\ \text{m}$
同理可得$DB = 60\ \text{m},$因此卡車(chē)受影響的行駛路程$CD = CB + DB = 60 + 60 = 120\ \text{m}。$
已知卡車(chē)速度為$5\ \text{m/s},$則受影響時(shí)間為:
$\text{時(shí)間}=\frac{\text{路程}}{\text{速度}}=\frac{120}{5}=24\ \text{s}$
答:該居民樓受卡車(chē)噪聲影響的時(shí)間為$24\ \text{秒}。$

(1)
∵$AB \perp BD,$$AB = 3,$$CD = x,$$BD = 12,$
∴$BC = BD - CD = 12 - x。$
在$Rt\triangle ABC$中,由勾股定理得:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (12 - x)^2} = \sqrt{9 + (12 - x)^2}。$
∵$ED \perp BD,$$DE = 2,$在$Rt\triangle DEC$中,由勾股定理得:
$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4}。$
∴$AC + CE = \sqrt{9 + (12 - x)^2} + \sqrt{x^2 + 4}。$
(2)當(dāng)點(diǎn)$C$是線段$AE$與$BD$的交點(diǎn)時(shí),$AC + CE$的值最小。
理由:兩點(diǎn)之間線段最短,此時(shí)$AC + CE = AE。$
過(guò)點(diǎn)$A$作$AF // BD,$交$ED$的延長(zhǎng)線于點(diǎn)$F,$則四邊形$ABDF$為矩形,
∴$AF = BD = 12,$$DF = AB = 3,$$EF = DE + DF = 2 + 3 = 5。$
在$Rt\triangle AFE$中,由勾股定理得:
$AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13。$
∴$AC + CE$的最小值為$13。$
(3)構(gòu)造幾何模型:設(shè)線段$BD = 8,$點(diǎn)$C$為$BD$上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)$CD = x,$則$BC = 8 - x。$
過(guò)點(diǎn)$B$作$AB \perp BD,$且$AB = 5;$過(guò)點(diǎn)$D$作$ED \perp BD,$且$ED = 1,$連接$AC$、$CE。$
則$AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{(8 - x)^2 + 5^2} = \sqrt{(8 - x)^2 + 25},$
$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1},$
∴代數(shù)式$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{(8 - x)^2 + 25}$的最小值即為$AC + CE$的最小值。
連接$AE,$交$BD$于點(diǎn)$C,$此時(shí)$AC + CE = AE$最小。
過(guò)點(diǎn)$A$作$AF // BD,$交$ED$的延長(zhǎng)線于點(diǎn)$F,$則四邊形$ABDF$為矩形,
∴$AF = BD = 8,$$DF = AB = 5,$$EF = DE + DF = 1 + 5 = 6。$
在$Rt\triangle AFE$中,由勾股定理得:
$AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10。$
∴代數(shù)式$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{(8 - x)^2 + 25}$的最小值為$10。$