$ (-2^{2009},-2^{2010}) $
【答案】：
A
【解析】：
解：正比例函數$y = \frac{1}{3}x$，其中$k=\frac{1}{3}＞0$，其圖象經過第一、三象限，且過原點。觀察選項，A選項符合。
A
【答案】：
$ y=-\dfrac{3}{2}x $
【解析】：
設正比例函數表達式為$y=kx$（$k\neq0$）。
因為函數圖象經過點$(-2,3)$，所以將$x=-2$，$y=3$代入表達式得：$3 = k×(-2)$。
解得$k=-\dfrac{3}{2}$。
故這個正比例函數的表達式為$y=-\dfrac{3}{2}x$。
【答案】：
$ \dfrac{4}{3} $
【解析】：
由圖可知，正比例函數$y = kx$的圖象經過點$(3, 4)$。
將$x = 3$，$y = 4$代入$y = kx$，得$4 = 3k$。
解得$k=\dfrac{4}{3}$。
$\dfrac{4}{3}$
【答案】：
A
【解析】：
∵點A(2,m)和點B(n,-6)關于x軸對稱，
∴n=2，m=6，即點A(2,6)。
設正比例函數表達式為y=kx(k≠0)，
將點A(2,6)代入得6=2k，
解得k=3，
∴正比例函數表達式為y=3x。
A
【答案】：
A
【解析】：
由題意得$\frac{a}{b+c}=\frac{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$，且$a,b,c＞0$。
則$a = k(b + c)$，$b = k(c + a)$，$c = k(a + b)$。
三式相加：$a + b + c = k(2a + 2b + 2c)$。
因為$a,b,c＞0$，所以$a + b + c \neq 0$，兩邊同除以$a + b + c$得$1 = 2k$，即$k=\frac{1}{2}$。
所以正比例函數為$y = \frac{1}{2}x$。
當$x = 1$時，$y=\frac{1}{2}$，故點$(1,\frac{1}{2})$在該函數圖象上。
A
【答案】：
C
【解析】：
設正比例函數解析式為$y=kx(k\neq0)$。
因為函數圖象經過點$A(-2,m)$，所以$m=-2k$；經過點$B(n,3)$，所以$3=kn$，即$n=\frac{3}{k}$。
由于$A$、$B$是不同象限的兩點，所以$A$、$B$的橫縱坐標符號組合不同。
若$k＞0$，則$m=-2k＜0$，$n=\frac{3}{k}＞0$，此時$A(-2,m)$在第三象限，$B(n,3)$在第一象限，符合不同象限。
若$k＜0$，則$m=-2k＞0$，$n=\frac{3}{k}＜0$，此時$A(-2,m)$在第二象限，$B(n,3)$在第二象限，不符合不同象限。
綜上，$m＜0$，$n＞0$。
C
【答案】：
＞
【解析】：
因為$y=(k - 1)x^{|k|}$是正比例函數，所以$|k|=1$且$k - 1\neq0$。解得$k=-1$，函數解析式為$y=-2x$。當$x=-2$時，$y_1=-2×(-2)=4$；當$x=1$時，$y_2=-2×1=-2$。因為$4 ＞ -2$，所以$y_1 ＞ y_2$。
＞
【答案】：
(16,32),$ (-2^{2009},-2^{2010}) $
【解析】：
$A_1(1,2)$，$A_2(-2,2)$，$A_3(-2,-4)$，$A_4(4,-4)$，$A_5(4,8)$，$A_6(-8,8)$，$A_7(-8,-16)$，$A_8(16,-16)$，$A_9(16,32)$；
觀察規(guī)律：當$n=4k+1$（$k$為自然數）時，$A_n(2^{2k},2^{2k+1})$；
$2019=4×504+3$，$A_{2019}(-2^{2×504+1},-2^{2×504+2})=(-2^{1009},-2^{1010})$
$(16,32)$，$(-2^{1009},-2^{1010})$
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