證明:連接 $AP,$
因為 $PE \perp AB,$$PF \perp AC,$$CH \perp AB,$
所以 $\triangle ABP$ 的面積 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot PE,$
$\triangle ACP$ 的面積 $S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot PF,$
$\triangle ABC$ 的面積 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CH。$
由于 $P$ 為底邊 $BC$ 上一點,可得 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP},$
即 $\frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2}AB \cdot PE + \frac{1}{2}AC \cdot PF。$
又因為 $AB = AC,$等式兩邊同時除以 $\frac{1}{2}AB,$
所以 $CH = PE + PF,$即 $PE + PF = CH。$
猜想:$PE = PF + CH。$
證明:連接 $AP,$
因為 $PE \perp AB,$$PF \perp AC,$$CH \perp AB,$
所以 $\triangle ABP$ 的面積 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot PE,$
$\triangle ACP$ 的面積 $S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot PF,$
$\triangle ABC$ 的面積 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CH。$
由于點 $P$ 在線段 $BC$ 的延長線上,可得 $S_{\triangle ABP} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACP},$
即 $\frac{1}{2}AB \cdot PE = \frac{1}{2}AB \cdot CH + \frac{1}{2}AC \cdot PF。$
又因為 $AB = AC,$等式兩邊同時除以 $\frac{1}{2}AB,$
所以 $PE = CH + PF,$即 $PE = PF + CH。$