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電子課本網(wǎng) 第25頁

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證明:
∵ $AB = AC,$$AD$ 是邊 $BC$ 上的中線,
∴ $AD \perp BC,$$\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC$(等腰三角形三線合一)。
∵ $AD \perp BC,$
∴ $\angle CAD + \angle C = 90^\circ$(直角三角形兩銳角互余)。
∵ $BE \perp AC,$
∴ $\angle CBE + \angle C = 90^\circ$(直角三角形兩銳角互余)。
∴ $\angle CBE = \angle CAD$(同角的余角相等)。

∵ $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC,$
∴ $\angle CBE = \frac{1}{2}\angle BAC。$
(1)∠ABE=∠ACD。證明如下:在△ABE和△ACD中,因為AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,所以△ABE≌△ACD(SAS),因此∠ABE=∠ACD。
(2)證明:由(1)知∠ABE=∠ACD,因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD,即∠FBC=∠FCB,所以FB=FC。又因為AB=AC,所以點A、F均在線段BC的垂直平分線上,因此直線AF垂直平分線段BC。
證明:連接 $AP,$
因為 $PE \perp AB,$$PF \perp AC,$$CH \perp AB,$
所以 $\triangle ABP$ 的面積 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot PE,$
$\triangle ACP$ 的面積 $S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot PF,$
$\triangle ABC$ 的面積 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CH。$
由于 $P$ 為底邊 $BC$ 上一點,可得 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP},$
即 $\frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2}AB \cdot PE + \frac{1}{2}AC \cdot PF。$
又因為 $AB = AC,$等式兩邊同時除以 $\frac{1}{2}AB,$
所以 $CH = PE + PF,$即 $PE + PF = CH。$
猜想:$PE = PF + CH。$
證明:連接 $AP,$
因為 $PE \perp AB,$$PF \perp AC,$$CH \perp AB,$
所以 $\triangle ABP$ 的面積 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}AB \cdot PE,$
$\triangle ACP$ 的面積 $S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot PF,$
$\triangle ABC$ 的面積 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CH。$
由于點 $P$ 在線段 $BC$ 的延長線上,可得 $S_{\triangle ABP} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACP},$
即 $\frac{1}{2}AB \cdot PE = \frac{1}{2}AB \cdot CH + \frac{1}{2}AC \cdot PF。$
又因為 $AB = AC,$等式兩邊同時除以 $\frac{1}{2}AB,$
所以 $PE = CH + PF,$即 $PE = PF + CH。$