$(1) 64^{\circ},180^{\circ}.\ $
$因?yàn)镸N⊥PQ,所以∠POM=∠QOM=90^{\circ},$
$因?yàn)椤螧OM=∠AOQ=26^{\circ},所以∠BOP=90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ};$
$因?yàn)椤螦OB=90^{\circ},$
$所以∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
$(2) ① 2β. 因?yàn)椤螾OM=90^{\circ},∠POC=β,$
$所以∠COM=90^{\circ}-β,$
$因?yàn)樯渚€OC是∠BOM的平分線,$
$所以∠BOM=2∠COM=180^{\circ}-2β,$
$所以∠BON=180^{\circ}-(180^{\circ}-2β)=2β\ $
$② β = 60^{\circ}或36^{\circ}.\ $
$當(dāng)OA位于∠QOM內(nèi)部時(shí),因?yàn)镺C平分∠BOM,$
$所以∠BOC=∠COM,$
$因?yàn)椤螦OC=2∠AOM,$
$所以∠AOM=∠COM,$
$所以∠AOM=∠COM=∠BOC=\frac{1}{3}∠AOB,$
$因?yàn)椤螦OB=90^{\circ},所以∠COM=30^{\circ},$
$所以β=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ};$
$當(dāng)OA位于∠POM內(nèi)部時(shí),如圖,因?yàn)椤螾OM=90^{\circ},∠POC=β,$
$所以∠COM=90^{\circ}-β,因?yàn)镺C平分∠BOM,所以∠BOM=2∠COM=180^{\circ}-2β,∠BOC=∠COM=90^{\circ}-β,$
$所以∠AOM=180^{\circ}-2β-90^{\circ}=90^{\circ}-2β,∠AOC=∠AOB-∠BOC=90^{\circ}-(90^{\circ}-β)=β,$
$因?yàn)椤螦OC=2∠AOM,所以β=2(90^{\circ}-2β),$
$解得β = 36^{\circ}.\ $
$綜上所述,若∠AOC=2∠AOM,則β的值為60^{\circ}或36^{\circ}$