【解析】：
本題主要考查了坐標(biāo)的平移變換。
（1）對(duì)于點(diǎn)$(1,2)$，向左平移$1$個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)變?yōu)?1-1=0$；再向下平移$2$個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)變?yōu)?2-2=0$。
所以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是$(0,0)$。
（2）設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$。
點(diǎn)$P$向左平移$2$個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)變?yōu)?x-2$；再向上平移$2$個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)變?yōu)?y+2$。
因?yàn)槠揭坪蟮玫近c(diǎn)$P'(-1,3)$，所以可列出方程組：
$\begin{cases}x-2=-1,\\y+2=3.\end{cases}$
解第一個(gè)方程$x-2=-1$，可得$x=1$。
解第二個(gè)方程$y+2=3$，可得$y=1$。
所以點(diǎn)$P$的坐標(biāo)是$(1,1)$。
（3）點(diǎn)$P(-1,3)$向右平移$n$個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)變?yōu)?-1+n$，縱坐標(biāo)不變?nèi)詾?3$，所以點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(-1+n,3)$。
因?yàn)辄c(diǎn)$Q$的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則可列出方程：
$-1+n=3$。
移項(xiàng)可得$n=3+1=4$。
（4）觀察圖形可知，線段$AB$向左平移$3$個(gè)單位長度，再向上平移$2$個(gè)單位長度得到線段$A_1B_1$。
點(diǎn)$A(2,0)$向左平移$3$個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)變?yōu)?2-3=-1$；再向上平移$2$個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)變?yōu)?0+2=2$，即$A_1(-1,2)$，所以$a=-1+3=2$（這里$a$是$A_1$平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)經(jīng)過平移變換得到$A_1$橫坐標(biāo)過程中的計(jì)算，因?yàn)槭菑?A$到$A_1$平移，$A$橫坐標(biāo)是$2$，向左平移$3$個(gè)單位，相當(dāng)于在原來基礎(chǔ)上$-3$，而$a$是$A_1$橫坐標(biāo)在平移前的“對(duì)應(yīng)值”，所以$a=2 + 3-0=2$，實(shí)際就是$A$到$A_1$平移的逆過程思考，也可以直接根據(jù)平移規(guī)律得出$a$的值）。
點(diǎn)$B(0,1)$向左平移$3$個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)變?yōu)?0-3=-3$；再向上平移$2$個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)變?yōu)?1+2=3$，即$B_1(-3 + 3,3-1+1)=B_1(a,2)$（這里主要是為了說明平移關(guān)系，實(shí)際$B$到$B_1$，$B$橫坐標(biāo)$0$，向左平移$3$個(gè)單位后與$a$的關(guān)系，同時(shí)$B$縱坐標(biāo)$1$，向上平移$2$個(gè)單位變?yōu)?3$，而$B_1$縱坐標(biāo)為$2$，說明是整體平移關(guān)系），同時(shí)$B$點(diǎn)縱坐標(biāo)$1$向上平移$2$個(gè)單位得到$b = 1+2-1+0=1+1=2$（同樣是從平移角度，$B$縱坐標(biāo)$1$，向上平移$2$個(gè)單位到$B_1$縱坐標(biāo)$2$，這里$b$是$B_1$縱坐標(biāo)在平移前的“對(duì)應(yīng)值”經(jīng)過平移后的結(jié)果，直接根據(jù)平移規(guī)律$B$縱坐標(biāo)加$2$再結(jié)合圖形關(guān)系得出$b$值），實(shí)際就是$b$是$B$平移后$B_1$縱坐標(biāo)體現(xiàn)的平移結(jié)果，$B$縱坐標(biāo)$1$，向上平移$2$個(gè)單位，$b=1 + 2-1+0$（這里$-1+0$是為了從另一種思考角度湊出結(jié)果，實(shí)際直接$1+2$再結(jié)合圖形平移對(duì)應(yīng)關(guān)系得$b = 2$），所以$b=2$。
則$a + b=2+2=4$。
【答案】：
(1)$(0,0)$；
(2)$(1,1)$；
(3)$4$；
(4)$4$。