【解析】：
本題考查平面直角坐標(biāo)系的建立以及正方形頂點和對角線交點坐標(biāo)的求解，關(guān)鍵在于合理建立不同的平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)正方形的性質(zhì)和坐標(biāo)的定義來確定各點坐標(biāo)。
【答案】：
解：(1)以點$A$為坐標(biāo)原點，$AB$所在直線為$x$軸，$AD$所在直線為$y$軸建立平面直角坐標(biāo)系。
因為正方形$ABCD$的邊長為$2$，
所以$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$。
對角線$AC$與$BD$的交點坐標(biāo)，即正方形中心坐標(biāo)為$(\frac{0 + 2}{2},\frac{0 + 2}{2})=(1,1)$。
(2)以正方形$ABCD$的中心$O$為坐標(biāo)原點，平行于$AB$的直線為$x$軸，平行于$AD$的直線為$y$軸建立平面直角坐標(biāo)系。
此時$A(-1,-1)$，$B(1,-1)$，$C(1,1)$，$D(-1,1)$，對角線交點$O(0,0)$。
