$解：$
$(1)在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點為100°C，普通煤爐中水吸收的熱量：$
$Q_{吸} = c_{水}m_{水}\Delta t = 4.2×10^{3}J/(kg·°C)×5kg×(100°C - 20°C) = 1.68×10^{6}J$
$由\eta=\frac{Q_{吸}}{Q_{放}}得，煤完全燃燒放出的熱量： $
$Q_{放}=\frac{Q_{吸}}{\eta}=\frac{1.68×10^{6}J}{28\%}=6×10^{6}J$
$由Q_{放}=mq得，普通煤爐完全燃燒煤的質(zhì)量：$
$m_{煤}=\frac{Q_{放}}{q_{煤}}=\frac{6×10^{6}J}{3×10^{7}J/kg}=0.2kg$
$(2)雙加熱煤爐額外加熱10kg水吸收的熱量： $
$Q_{吸}' = c_{水}m_{水}'\Delta t' = 4.2×10^{3}J/(kg·℃)×10kg×(40°C - 20°C)=8.4×10^{5}J$
$雙加熱煤爐中水吸收的總熱量：$
$Q_{吸總}=Q_{吸} + Q_{吸}'=1.68×10^{6}J+8.4×10^{5}J=2.52×10^{6}J$
$雙加熱煤爐消耗煤的質(zhì)量與普通煤爐相同，故Q_{放}=6×10^{6}J， $
$則雙加熱煤爐的燒水效率： $
$\eta'=\frac{Q_{吸總}}{Q_{放}}×100\%=\frac{2.52×10^{6}J}{6×10^{6}J}×100\% = 42\%$
$答：$
$(1)普通煤爐完全燃燒煤的質(zhì)量為0.2kg；$
$(2)雙加熱煤爐的燒水效率為42\%。$
