?$ (1)$?證明：∵?$AB=AC，$?∴?$∠ABC=∠ACB$?
∵?$BD，$??$CE$?是高，∴?$∠BDC=∠CEB=90^\circ$?
在?$\triangle BEC$?和?$\triangle CDB$?中
?$\begin {cases}∠BEC=∠CDB\\∠EBC=∠DCB\\BC=CB\end {cases}$?
∴?$\triangle BEC≌\triangle CDB(\mathrm {AAS})，$?∴?$BE=CD$?
在?$\triangle BEP $?和?$\triangle CDP {中}$?
?$\begin {cases}∠BEP=∠CDP\\∠EP B=∠DP C\\BE=CD\end {cases}$?
∴?$\triangle BEP≌\triangle CDP(\mathrm {AAS})，$?∴?$P B=P C$?
?$(2)$?∵?$P B=10，$??$P D=6，$?∴?$BD=P B+P D=16$?
∵?$P C=P B=10$?
在?$Rt\triangle P DC$?中，?$CD=\sqrt {P C^2-P D^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8$?
∵?$AB=AC，$??$BD\perp AC，$?∴?$AB=AD+CD=AD+8$?
在?$Rt\triangle ABD$?中，?$AB^2=AD^2+BD^2$?
∴?$(AD+8)^2=AD^2=16^2$?
解得?$AD=12$?
∴?$AC=AD+CD=12+8=20$?
