證明：連接$BD。$
∵$\triangle ACB$與$\triangle ECD$都是等腰直角三角形，
∴$AC = BC，$$EC = CD，$$\angle ACB=\angle ECD = 90^{\circ}。$
∵$\angle ACB+\angle ACD=\angle ECD+\angle ACD，$
∴$\angle ACE=\angle BCD。$
在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，
$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACE=\angle BCD\\EC = CD\end{cases}$
∴$\triangle ACE\cong\triangle BCD(SAS)。$
∴$AE = BD，$$\angle E=\angle CDB。$
∵$\angle E+\angle EDC = 90^{\circ}，$
∴$\angle CDB+\angle EDC = 90^{\circ}，$即$\angle ADB = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle ADB$中，由勾股定理得$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}。$
又
∵在等腰直角$\triangle ACB$中，$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2AC^{2}，$且$BD = AE，$
∴$AE^{2}+AD^{2}=2AC^{2}。$
