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 解：在$Rt\triangle ABC$中，根據(jù)勾股定理可得：$a^{2}+b^{2}=c^{2}；$

 由三角形面積公式，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch，$化簡(jiǎn)得：$ab=ch；$

 根據(jù)射影定理，有$b^{2}=mc，$$a^{2}=nc；$

 又因?yàn)?AB=AD+DB，$所以$c=m+n。$

 解：設(shè)△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，則DC=a-x，AD=h。

 在Rt△ABD中，由勾股定理得：$h^2 + x^2 = c^2$ ①

 在Rt△ACD中，由勾股定理得：$h^2 + (a-x)^2 = b^2$ ②

 ② - ①得：$(a-x)^2 - x^2 = b^2 - c^2$

 展開(kāi)得：$a^2 - 2ax = b^2 - c^2$

 解得：$x = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$

 將x代入①得：$h^2 = c^2 - \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2$

 化簡(jiǎn)得：$h^2 = \frac{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}$

 分子因式分解：$4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2 = (2ac + a^2 + c^2 - b^2)(2ac - a^2 - c^2 + b^2) = [(a+c)^2 - b^2][b^2 - (a-c)^2] = (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)$

 設(shè)$p = \frac{a+b+c}{2}，$則$a+c-b=2(p-b)，$$b+a-c=2(p-c)，$$b-a+c=2(p-a)$

 ∴$h^2 = \frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2} = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}$

 ∴$h = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$

 三角形面積$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}a \cdot \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

 即$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}，$其中$p=\frac{a+b+c}{2}。$

C

【解析】：本題可根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再通過(guò)面積公式求解三角形的面積，也可利用海倫公式直接計(jì)算三角形面積。
方法一：利用勾股定理的逆定理和面積公式求解
步驟一：判斷三角形的形狀
已知在$\triangle ABC$中，$AB = 13$里，$BC = 14$里，$AC = 15$里。
過(guò)點(diǎn)$A$作$AD\perp BC$于點(diǎn)$D$，設(shè)$BD = x$里，則$CD=(14 - x)$里。
在$Rt\triangle ABD$中，根據(jù)勾股定理可得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=13^{2}-x^{2}$；
在$Rt\triangle ACD$中，根據(jù)勾股定理可得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$，
即$169 - x^{2}=225-(196 - 28x + x^{2})$，
去括號(hào)得$169 - x^{2}=225 - 196 + 28x - x^{2}$，
移項(xiàng)可得$-x^{2}+x^{2}-28x=225 - 196 - 169$，
合并同類項(xiàng)得$-28x=-140$，
解得$x = 5$。
步驟二：計(jì)算$AD$的長(zhǎng)度
把$x = 5$代入$AD^{2}=13^{2}-x^{2}$，可得$AD^{2}=13^{2}-5^{2}=169 - 25 = 144$，
因?yàn)?AD\gt0$，所以$AD = 12$里。
步驟三：計(jì)算$\triangle ABC$的面積
根據(jù)三角形面積公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，這里底$BC = 14$里，高$AD = 12$里，
所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$（平方里）。
方法二：利用海倫公式求解
海倫公式為$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$a$、$b$、$c$為三角形的三邊，$p=\frac{a + b + c}{2}$為半周長(zhǎng)。
已知$a = 14$里，$b = 15$里，$c = 13$里，則$p=\frac{14 + 15 + 13}{2}=\frac{42}{2}=21$（里）。
所以${S}_{\triangle ABC}=\sqrt{21×(21 - 14)×(21 - 15)×(21 - 13)}=\sqrt{21×7×6×8}=\sqrt{7056}=84$（平方里）。
綜上，$\triangle ABC$的面積是$84$平方里，答案選C。
【答案】：C

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