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第67頁

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解：?$A B=\sqrt {A C^2+B C^2}=5\ \mathrm {cm} $?
此時?$A B=D E $?、?$ A C=D F $?、?$ B C=E F$?
?$ $?故?$\triangle ABC≌ \triangle DEF(\mathrm {SSS})$?
∴?$∠DFE=∠ACB=90° $?
∴?$\triangle DEF $?是直角三角形
證明：連接$BD。$
在$Rt\triangle ABD$中，因為$\angle A = 90^\circ，$$AB = 20，$$AD = 15，$根據勾股定理可得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$
所以$BD = \sqrt{625} = 25。$
在$\triangle BCD$中，已知$CD = 7，$$BC = 24，$則：
$CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
而$BD^2 = 625，$所以$CD^2 + BC^2 = BD^2。$
根據勾股定理的逆定理，可知$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle C = 90^\circ。$
綜上，$\angle C = 90^\circ$得證。

證明：
設三角形的三邊分別為$a，$$\sqrt{3}a，$$2a，$其中$a ＞ 0，$
計算可得：
$a^{2} + (\sqrt{3}a)^{2} = a^{2} + 3a^{2} = 4a^{2}，$
又因為$(2a)^{2} = 4a^{2}，$
所以$a^{2} + (\sqrt{3}a)^{2} = (2a)^{2}，$
根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形。
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
【解析】：
本題考查的是勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理表明，如果一個三角形的三邊長$a, b, c$（其中$a \leq b \leq c$）滿足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，那么這個三角形一定是直角三角形。
【答案】：
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
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