解：(2)$①$連接$PA，$$PB，$$PC$
可得$S_{△ABC}=S_{△PBC}+S_{△PAC}-S_{△PAB}$
設(shè)$BC=a ，$$ AC=b ，$$ AB=c$
即$\frac 12ab=\frac 12an+\frac 12bn-\frac 12cn$
則$n=\frac {ab}{a+b-c}$
連接$OA，$$OB，$$OC$
可得$S_{△ABC}=S_{△OBC}+S_{△OAC}+S_{△OAB}$
即$\frac 12ab=\frac 12am+\frac 12bm+\frac 12\ \mathrm {cm}$
則$m=\frac {ab}{a+b+c}$
∴$mn=\frac {ab}{a+b+c}×\frac {ab}{a+b-c}=\frac {a^2b^2}{a^2+2ab+b^2-c^2}$
∵$△ABC$是直角三角形，$∠C=90°$
∴$a^2+b^2=c^2$
∴$mn=\frac {a^2b^2}{2ab}=\frac {ab}2$
∴$S_{△ABC}=\frac {ab}2=mn$
②如圖，設(shè)圓$O$與$CA，$$CB，$$AB$相切，切點(diǎn)分別為$E，$$F，$$G ，$連接$OE，$$OF$
可得$∠OCF=30° ，$$CF=\sqrt 3m$
設(shè)$BC=a ，$$ AC=b ，$$ AB=c$
∴$BF= a-\sqrt 3m$
同理，$AE= b-\sqrt 3m$
又∵$AE=AG，$$BF=BG$
∴$AB=c=b-\sqrt 3m+a-\sqrt 3m$
即$m= \frac {\sqrt 3}6(a+b-c)$
連接$PA，$$PB，$$PC$
可得$S_{△ABC}=S_{△PBC}+S_{△PAC}-S_{△PAB}，$$S_{△ABC}=\frac {\sqrt 3}4ab$
即$\frac {\sqrt 3}4ab=\frac 12an+\frac 12bn-\frac 12cn$
則$n=\frac {\sqrt 3ab}{2(a+b-c)}$
∴$mn=\frac {\sqrt 3}6(a+b-c)×\frac {\sqrt 3ab}{2(a+b-c)}=\frac 14ab$
∴$S_{△ABC}=\frac {\sqrt 3}4ab=\sqrt 3mn$
