?$(1)$?證明：連接?$ME，$??$MD$?
∵?$CD，$??$BE$?分別是?$AB，$??$AC$?邊上的高
∴?$∠CDB=∠BEC=90°$?
∵?$M$?是?$BC$?的中點
∴在?$Rt\triangle BEC$?中，?$ME=\frac 12BC$?
∴在?$Rt\triangle BDC$?中，?$MD=\frac 12BC$?
∴?$ME = MD$?
又∵?$N$?是?$DE$?的中點，∴?$MN\perp DE$?
?$(2)$?解：?$MN=\frac 12DE$?
∵?$ME=CM，$??$DM=BM$?
∴?$∠MEC=∠ACB，$??$∠MDB=∠ABC$?
∴?$∠DMB=180°-∠DMC=180°-2∠ABC，$?
?$∠EMC=180°-∠EMB=180°-2∠ACB$?
∴?$∠DMB+∠EMC=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB$?
?$=360°-2(∠ACB+∠ABC)$?
∵?$∠A=45°，$?∴?$∠ACB+∠ABC=135°$?
∴?$∠DMB+∠EMC=360°-2×135°=90°$?
∴?$∠DME=180°-(∠DME+∠EMC)=90°$?
∴?$△DME$?是等腰直角三角形
∵點?$N$?是?$DE$?的中點
∴?$MN=\frac 12DE$?
