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解：?$(1)$?∵?$MN$?是?$AB$?的垂直平分線
∴?$AD = BD$?
?$ \triangle BCD$?的周長?$= BC + CD + BD $?
?$= BC + CD + AD = BC + AC$?
∵?$AC = 15，$??$\triangle BCD$?的周長等于?$25$?
∴?$BC = 10$?
?$ (2)$?∵?$AB = AC，$??$∠A = 36°$?
∴?$∠ABC=∠ACB=\frac 12(180°-∠A)=72°$?
∵?$MN$?是?$AB$?的垂直平分線
∴?$AD = BD，$?則?$∠ABD=∠A = 36°$?
∴?$∠CBD=∠ABC-∠ABD = 72°-36°=36°$?
解：?$(1)$?∵?$DM$?垂直平分?$AC，$?∴?$MA = MC$?
∵?$EN$?垂直平分?$BC，$?∴?$NB = NC$?
?$ \triangle CMN$?的周長?$=CM + MN + CN$?
?$= AM + MN + NB = AB=10$?
?$ (2)$?∵?$∠MFN = 65°$?
∴?$∠FMN+∠FNM = 180°-∠MFN=115°$?
∴?$∠AMD+∠BNE = 115°$?
∵?$MD⊥AC，$??$EN⊥BC$?
∴?$∠A+∠B=180°-(∠AMD+∠BNE)=65°$?
又∵?$MA = MC，$??$NB = NC$?
∴?$∠A=∠ACM，$??$∠B=∠BCN$?
∴?$∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=65°$?
∵?$∠ACB = 180°-(∠A+∠B)$?
∴?$∠MCN = 180°-2(∠A+∠B)=50°$?
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