解：過點(diǎn)$D$作$DE\perp AB$于點(diǎn)$E，$因為$AB// DC，$$AB\perp BC，$所以四邊形$BCDE$是矩形，則$BE = CD = 2，$$DE = BC = 4，$$AE=AB - BE=5 - 2 = 3。$
根據(jù)勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5。$
該幾何體是由一個圓柱和一個圓錐組成，圓柱底面半徑$r = BC = 4，$高$h_1 = CD = 2，$圓錐母線長$l = AD = 5，$高$h_2 = AE = 3。$
圓柱側(cè)面積$S_{柱側(cè)}=2\pi rh_1=2\pi\times4\times2 = 16\pi，$圓錐側(cè)面積$S_{錐側(cè)}=\pi rl=\pi\times4\times5 = 20\pi，$圓柱底面積$S_{底}=\pi r^{2}=\pi\times4^{2}=16\pi。$
所以幾何體表面積$S = S_{柱側(cè)}+S_{錐側(cè)}+S_{底}=16\pi+20\pi+16\pi = 52\pi。$
