解：?$(1)$?如圖所示，連接?$OA$?
∵?$AB$?切?$\odot O$?于點?$A，$?∴?$∠OAB=90°$?
在?$Rt?OAB$?中，?$AB= 3\sqrt 3$?
設?$OA=R，$?則?$OB=2R$?
由勾股定理得?$(2R)^2= R^2 + (3\sqrt 3)^2$?
解得?$ R=3$?
∴?$\odot O$?的半徑為?$3$?
?$(2)$?∵?$?OAB$?是直角三角形，且?$OB=2OA$?
∴?$∠B=30°，$?∴?$∠AOB= 60°$?
∴?$∠ACB= \frac 12∠AOB=30°$?
?$(3) S_{陰影}=S_{△OAB}-S_{扇形OAD}$?
?$= \frac 12\ \mathrm {A}B×OA-\frac 16S_{\odot O}$?
?$= \frac 12×3\sqrt 3×3-\frac 16×π×3^2$?
?$= \frac {9\sqrt 3}2-\frac 32π$?
