(1)
解：因為直線$l:y = mx + 10m$與$x$軸負半軸、$y$軸正半軸分別交于$A，$$B$兩點，所以$A(-10,0)，$$B(0,10m)。$
因為$OA = OB，$所以$10m = 10，$解得$m = 1。$
所以直線$l$的函數(shù)表達式為$y=x + 10。$
(2)
①當點$Q$在線段$AB$的延長線上時，
因為$AM\perp OQ，$$BN\perp OQ，$所以$\angle AMO=\angle BNO = 90^{\circ}，$$\angle AOM+\angle MAO = 90^{\circ}。$
又因為$\angle AOM+\angle BON = 90^{\circ}，$所以$\angle MAO=\angle NOB。$
在$\triangle AMO$和$\triangle ONB$中，$\begin{cases}\angle AMO=\angle ONB\\\angle MAO=\angle NOB\\OA = BO\end{cases}，$所以$\triangle AMO\cong\triangle ONB(AAS)。$
所以$AM = ON，$$OM = BN。$
因為$AM = 8，$$BN = 6，$所以$MN=ON + OM=AM + BN=14。$
②當點$Q$在線段$AB$上時，
同理可得$\triangle AMO\cong\triangle ONB，$所以$AM = ON，$$OM = BN。$
因為$AM = 8，$$BN = 6，$所以$MN=ON - OM=AM - BN=2。$
綜上，$MN$的長為$14$或$2。$
(3)
解：$PB$的長為定值。
過點$E$作$EG\perp y$軸于點$G。$
因為$\triangle AEB$是等腰直角三角形，所以$AB = EB，$$\angle ABO+\angle EBG = 90^{\circ}。$
因為$EG\perp BG，$所以$\angle GEB+\angle EBG = 90^{\circ}，$所以$\angle ABO=\angle GEB。$
在$\triangle ABO$和$\triangle BEG$中，$\begin{cases}\angle BOA=\angle EGB\\\angle ABO=\angle BEG\\AB = BE\end{cases}，$所以$\triangle ABO\cong\triangle BEG(AAS)。$
所以$BG = AO = 10，$$OB = EG。$
因為$\triangle OBF$是等腰直角三角形，所以$OB = BF，$所以$BF = EG。$
在$\triangle BFP$和$\triangle GEP$中，$\begin{cases}\angle FPB=\angle EPG\\\angle FBP=\angle EGP\\FB = EG\end{cases}，$所以$\triangle BFP\cong\triangle GEP(AAS)。$
所以$BP = GP=\frac{1}{2}BG = 5，$所以$PB$的長是定值。
