解：
(1)
∵點$P(1,a)$在直線$y = 3x$上，
∴$a = 3，$即$P(1,3)。$
∵直線$y = kx(0\lt k\lt1)$上有一點$Q(b,1)，$
∴$bk = 1，$解得$b=\frac{1}{k}，$
∴$Q(\frac{1}{k},1)。$
(2)由題意知，$A(1,0)，$$B(\frac{1}{k},0)，$
∴$S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}\times3\times(\frac{1}{k}-1)，$
$S_{\triangle OPQ}=S_{\triangle AOP}+S_{\triangle APQ}+S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle BOQ}=\frac{1}{2}\times1\times3+\frac{1}{2}\times3\times(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{k}-1)\times1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{k}\times1=\frac{3}{2k}-\frac{1}{2}。$
∵$\triangle APQ$的面積是$\triangle OPQ$面積的$\frac{3}{4}，$
∴$\frac{1}{2}\times3\times(\frac{1}{k}-1)=(\frac{3}{2k}-\frac{1}{2})\times\frac{3}{4}，$
可得$\frac{1}{k}=3，$
∴$k=\frac{1}{3}。$
(3)存在。點$D$的坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})。$
解析：設(shè)$D(m,3m)，$當(dāng)$D$在第一象限時，
∵$S_{\triangle ODG}=\frac{1}{2}S_{\triangle OPG}，$
∴$OD=\frac{1}{2}OP，$
∴點$D$是$OP$的中點，
∴$D(\frac{1}{2},\frac{3}{2})；$
當(dāng)$D$在第三象限時，如圖中點$D'，$由題意知$OD = OD'，$
∴$D'(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})。$
綜上所述，$D$的坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})。$
