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等腰
(2)解：設$CE = x，$則$BE=14 - x。$
在$Rt\triangle AEC$中，由勾股定理，得$AE^{2}=AC^{2}-CE^{2}，$所以$AE^{2}=13^{2}-x^{2}。$
在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理，得$AE^{2}=AB^{2}-BE^{2}，$所以$AE^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}。$
則$13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}，$
$\begin{aligned}169 - x^{2}&=225-(196 - 28x+x^{2})\\169 - x^{2}&=225 - 196 + 28x - x^{2}\\28x&=169+196 - 225\\28x&=140\\x&=5\end{aligned}$
在$Rt\triangle AEC$中，由勾股定理，得$AE^{2}=AC^{2}-CE^{2}=13^{2}-5^{2}=144，$所以$AE = 12。$
(3)證明：由
(1)得$\triangle ADC$是等腰三角形，又$\angle DAC = 90^{\circ}，$所以$\triangle ADC$是等腰直角三角形。
因為$AE$是$CD$邊上的高，所以$DE = CE，$$\angle DAE=\angle EAC=\frac{1}{2}\angle DAC=\frac{1}{2}\times90^{\circ}=45^{\circ}，$則$\triangle AED$與$\triangle AEC$都是等腰直角三角形，所以$DE = AE = EC，$即$CD = 2AE。$
因為$BC - BD = CD，$所以$BC - BD = 2AE。$
42或150
10或$\frac{5}{2}$
45
4
6
(1)解：因為$\angle C = 90^{\circ}，$$AB = 5\mathrm{cm}，$$BC = 3\mathrm{cm}，$由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4\mathrm{cm}。$
出發(fā)$6.5\mathrm{s}$后，點$P$運動的路程為$6.5\times1 = 6.5\mathrm{cm}，$$AC + AP=6.5\mathrm{cm}，$所以$AP=6.5 - 4 = 2.5\mathrm{cm}，$$BP = AB - AP=5 - 2.5 = 2.5\mathrm{cm}。$
因為點$P$為$AB$中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以$CP = BP = 2.5\mathrm{cm}。$
(2)解：因為$AC = 4\mathrm{cm}，$動點$P$從點$C$開始按$C→A→B→C$的路徑運動，且速度為每秒$1\mathrm{cm}。$
當點$P$在$AC$上運動時，$\triangle BCP$為直角三角形，此時$0\lt t\leqslant4。$
當點$P$在$AB$上，$CP\perp AB$時，$\triangle BCP$為直角三角形。
因為$\frac{1}{2}AB\cdot CP=\frac{1}{2}AC\cdot BC，$即$\frac{1}{2}\times5CP=\frac{1}{2}\times3\times4，$解得$CP=\frac{12}{5}\mathrm{cm}。$
由勾股定理得$AC^{2}=AP^{2}+PC^{2}，$即$4^{2}=AP^{2}+(\frac{12}{5})^{2}，$
$\begin{aligned}AP^{2}&=16-\frac{144}{25}\\AP^{2}&=\frac{400 - 144}{25}\\AP^{2}&=\frac{256}{25}\\AP&=\frac{16}{5}\mathrm{cm}\end{aligned}$
$AC + AP=4+\frac{16}{5}=\frac{20 + 16}{5}=\frac{36}{5}\mathrm{cm}，$$t=\frac{36}{5}\div1=\frac{36}{5}。$
綜上所述，當$0\lt t\leqslant4$或$t = \frac{36}{5}$時，$\triangle BCP$為直角三角形。
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