解：（1）$\triangle AND$是等邊三角形。
證明：因為把邊長為$4$的正方形紙片$ABCD$對折，使邊$AB$與$CD$重合，展開后得到折痕$EF，$所以$FE$是$AD$的垂直平分線，所以$AN = DN。$
因為將正方形紙片$ABCD$沿直線$DM$折疊，使點$C$落在折痕$EF$上的點$N$處，所以$DC = DN = 4。$
又因為$AD = 4，$所以$AN = DN = 4 = AD，$所以$\triangle AND$是等邊三角形。
（2）因為把邊長為$4$的正方形紙片$ABCD$對折，使邊$AB$與$CD$重合，展開后得到折痕$EF，$所以$DE=\frac{1}{2}AD = 2，$$\angle DEN = 90^{\circ}。$
因為將正方形紙片$ABCD$沿直線$DM$折疊，使點$C$落在折痕$EF$上的點$N$處，所以$DC = DN = 4，$$\angle C=\angle DNM = 90^{\circ}，$$MN = CM。$
因為$DE=\frac{1}{2}DN，$所以$\angle DNE = 30^{\circ}。$
所以$\angle MNF = 180^{\circ}-\angle DNE-\angle DNM = 60^{\circ}。$
因為$\angle NFC = 90^{\circ}，$所以$\angle FMN = 30^{\circ}。$
所以$NF=\frac{1}{2}MN，$所以$NF=\frac{1}{2}CM。$
