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第27頁

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證明：過點$P$作$BQ$的平行線交$AC$于點$D。$
因為$BQ$平分$\angle ABC$且$\angle ABC = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle C = 80^{\circ}，$所以$\angle CBQ=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}，$所以$\angle CBQ=\angle ACB。$
過點$Q$作$QF\perp BC$于點$F，$易證$\triangle BQF\cong\triangle CQF，$所以$BQ = CQ，$所以$BQ + AQ=CQ + AQ = AC$ ①。
因為$PD// BQ，$所以$\angle CPD=\angle CBQ = 40^{\circ}，$所以$\angle CPD=\angle ACB = 40^{\circ}，$易得$PD = CD。$
因為$AP$平分$\angle BAC，$$\angle BAC = 60^{\circ}，$所以$\angle BAP=\angle CAP = 30^{\circ}，$且$\angle ABC = 80^{\circ}，$所以$\angle ABC=\angle ADP。$
在$\triangle ABP$與$\triangle ADP$中，
$\begin{cases}\angle ABP=\angle ADP\\\angle BAP=\angle DAP\\AP = AP\end{cases}$
所以$\triangle ABP\cong\triangle ADP(AAS)，$所以$AB = AD，$$BP = PD，$所以$AB + BP=AD + PD=AD + CD = AC$ ②。
由①②可得，$AB + BP=BQ + AQ。$
(1)解：如圖①，將$\triangle ADF$繞著點$A$按順時針方向旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}，$得$\triangle ABH。$
所以$DF = BE = BH = 1。$
因為四邊形$ABCD$是正方形，所以$AD = AB = BC = CD，$$\angle ABC=\angle ADF=\angle C = 90^{\circ}。$
由旋轉(zhuǎn)可得$AF = AH，$$\angle DAF=\angle BAH，$又$\angle EAF = 45^{\circ}，$所以$\angle DAF+\angle BAE = 45^{\circ}=\angle BAH+\angle BAE=\angle HAE=\angle EAF。$
又$AE = AE，$所以$\triangle AEF\cong\triangle AEH(SAS)，$所以$HE = EF = 2。$
(2)證明：如圖②，將$\triangle ADF$繞著點$A$按順時針方向旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}，$得$\triangle ABF'，$則$\angle ABF'=\angle D，$$AF = AF'，$$BF' = DF，$$\angle BAF'=\angle DAF。$
因為四邊形$ABCD$是正方形，所以$\angle D=\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$\angle ABF' = 90^{\circ}，$所以$\angle F'BC = 180^{\circ}，$所以$F'，$$B，$$E$在同一直線上。
因為$\angle EAF = 45^{\circ}，$所以$\angle DAF+\angle BAE = 45^{\circ}=\angle F'AB+\angle BAE=\angle F'AE=\angle EAF。$
又$AE = AE，$所以$\triangle AF'E\cong\triangle AFE(SAS)，$所以$EF = EF'=BE + BF'=BE + DF，$即$BE + DF = EF。$
(3)$EF = DF - BE。$
證明: 探究：作$DE\perp AB$于$E，$$DF\perp AC，$交$AC$的延長線于$F，$如圖所示。
在$\triangle DFA$和$\triangle DEA$中，
$\begin{cases}\angle DAF=\angle DAE\\\angle AFD=\angle AED = 90^{\circ}\\DA = DA\end{cases}$
所以$\triangle DFA\cong\triangle DEA(AAS)，$所以$DF = DE。$
因為$\angle ABD+\angle ACD = 180^{\circ}，$$\angle ACD+\angle FCD = 180^{\circ}，$所以$\angle ABD=\angle FCD。$
在$\triangle DFC$和$\triangle DEB$中，
$\begin{cases}\angle DFC=\angle DEB\\\angle FCD=\angle EBD\\DF = DE\end{cases}$
所以$\triangle DFC\cong\triangle DEB(AAS)，$所以$DB = DC。$
應(yīng)用：連接$AD，$作$DF\perp AC，$交$AC$的延長線于$F，$如圖所示。
因為$\angle ACD = 135^{\circ}，$所以$\angle FCD = 180^{\circ}-\angle ACD = 45^{\circ}。$
因為$\angle B = 45^{\circ}，$所以$\angle FCD=\angle B。$
在$\triangle DFC$和$\triangle DEB$中，
$\begin{cases}\angle DFC=\angle DEB = 90^{\circ}\\\angle FCD=\angle B\\DC = DB\end{cases}$
所以$\triangle DFC\cong\triangle DEB(AAS)，$所以$DF = DE，$$CF = BE。$
在$Rt\triangle ADF$和$Rt\triangle ADE$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DF = DE\end{cases}$
所以$Rt\triangle ADF\cong Rt\triangle ADE(HL)，$所以$AF = AE，$所以$AB = AE + BE=AC + CF+BE=AC + 2BE，$所以$AB - AC = 2BE。$
解: $BD = AC。$
理由：如圖，由于$AD$平分$\angle BAE，$所以可將$\triangle ABD$沿$AD$所在直線翻折到$\triangle AFD$的位置，則$\triangle ABD\cong\triangle AFD，$所以$\angle F=\angle B，$$BD = FD。$
又$\angle CAE=\angle B，$所以$\angle CAE=\angle F。$
又$\angle AEC=\angle FED，$且$E$是$CD$的中點，所以$\triangle ACE\cong\triangle FDE，$所以$DF = AC，$所以$BD = AC。$
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