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第30頁

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證明?$：(1)$?如圖，連接?$OA。$?
因?yàn)?$BE$?是?$\odot O$?的直徑，
所以?$∠BAE = 90°，$?
所以?$∠BAO+∠OAE = 90°。$?
因?yàn)?$OA = OB，$?
所以?$∠ABC=∠BAO。$?
因?yàn)?$∠EAC=∠ABC，$?
所以?$∠EAC=∠BAO，$?
所以?$∠EAC+∠OAE = 90°，$?即?$∠OAC = 90°，$?
所以?$OA\perp AC。$?
因?yàn)?$OA$?是?$\odot O$?的半徑，
所以?$CA$?是?$\odot O$?的切線。
?$(2)$?如圖，連接?$BD。$?設(shè)?$\odot O$?的半徑為?$r，$?
則?$OA = OE = r。$?
因?yàn)?$∠OAC = 90°，$?
所以?$OA^2+AC^2=OC^2。$?
因?yàn)?$AC = 8，$??$CE = 4，$?
所以?$r^2+8^2=(4 + r)^2，$?
展開得?$r^2+64 = 16 + 8r + r^2，$?
移項(xiàng)得?$8r = 48，$?
解得?$r = 6，$?
所以?$BE = 2r = 12。$?
因?yàn)?$AD$?平分?$∠BAE，$?
所以?$∠BAD=∠EAD，$?
所以?$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{DE}，$?
所以?$BD = DE。$?
因?yàn)?$BE$?是?$\odot O$?的直徑，
所以?$∠BDE = 90°，$?
所以?$BD^2+DE^2=BE^2，$?
即?$DE^2+DE^2=12^2，$?
?$2DE^2=144，$?
?$DE^2=72，$?

解得?$DE = 6\sqrt {2}。$?
解:(1)設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)$x$元。
根據(jù)題意，得$(60 - x - 40)(100+\frac{x}{2}×20)=2240，$
化簡(jiǎn)得$(20 - x)(100 + 10x)=2240，$
展開得$2000+200x-100x-10x^{2}=2240，$
即$-10x^{2}+100x - 240 = 0，$
兩邊同時(shí)除以$-10$得$x^{2}-10x + 24 = 0，$
因式分解得$(x - 4)(x - 6)=0，$
則$x - 4 = 0$或$x - 6 = 0，$
解得$x_1 = 4，$$x_2 = 6。$
答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)?$4$?元或?$6$?元。
?$(2)$?由?$(1)，$?可知每千克核桃可降價(jià)?$4$?元或?$6$?元。
因?yàn)橐M可能讓利于顧客，
所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)?$6$?元。
此時(shí)每千克的售價(jià)為$60 - 6 = 54$（元），$\frac{54}{60}×100\% = 90\%。$
答：該專賣店應(yīng)按原售價(jià)的?$9$?折出售核桃。
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