解：?$(1)$?∵?$A、$??$B$?兩點的坐標分別為?$(5，$??$0)、$??$(3，$??$0)$?
∴?$OA=5，$??$OB=3$?
∵在?$Rt△COB$?中，?$∠CBO=45°$?
∴?$∠OCB=180°-90°-45°=45°=∠CBO$?
∴?$OC=OB=3$?
∴點?$C$?的坐標為?$(0，$??$3)$?
?$(2)①$?當點?$P $?在點?$B$?的左側(cè)時，
∵?$∠OCB=45°，$??$∠BCP=15°$?
∴?$∠OCP=∠OCB-∠BCP=45°-15°=30°$?
∴在?$Rt△POC$?中，?$OP=\frac 1 2CP$?
∵?$CO=3$?
∴?${OP}^2+3^2={(2OP)}^2$?
解得，?$OP=\sqrt {3}$?
∵點?$Q $?的坐標為?$(-4，$??$0)$?
∴?$OQ=4$?
∴?$OP=\sqrt {3}+4$?
∵點?$P_{沿}x$?軸向右以每秒?$2$?個單位長度的速度運動
∴?$t=\frac {\sqrt {3}+4}2$?
?$②$?當點?$P $?在點?$B$?的右側(cè)時，
∵?$∠OCB=45°，$??$∠BCP=15°$?
∴?$∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°$?
∴在?$Rt△POC$?中，?$∠CPO=180°-90°-60°=30°$?
∴?$CO=\frac 1 2CP$?
∵?$CO=3$?
∴?$CP=2CO=6$?
∴?$OP=\sqrt {6^2-3^2}=3\sqrt {3}$?
∵點?$Q $?的坐標為?$(-4，$??$0)$?
∴?$OQ=4$?
∴?$QP=3\sqrt {3}+4$?
∵點?$P_{沿}x$?軸向右以每秒?$2$?個單位長度的速度運動
∴?$t=\frac {3\sqrt {3}+4}2$?
綜上所述，當?$∠BCP=15°$?時，?$t $?的值為?$\frac {\sqrt {3}+4}2$?或?$\frac {3\sqrt {3}+4}2$?
