證明：?$ (1)$?因?yàn)樵谒倪呅?$ABCD$?中，
?$∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC = 360°，$?
所以?$∠ABC+∠ADC=360°-(α+β)。$?
?$ $?因?yàn)?$∠MBC+∠ABC = 180°，$?
?$∠NDC+∠ADC = 180°，$?
所以?$∠MBC+∠NDC$?
?$=180°-∠ABC + 180°-∠ADC$?
?$=360°-(∠ABC+∠ADC)$?
?$=360°-[360°-(α+β)]=α+β。$?
?$ (2)β-α= 90°。$?
理由如下：
如圖①，連接?$BD，$?
由?$(1)$?知，?$∠MBC+∠NDC=α+β，$?
因?yàn)?$BE，$??$DF $?分別平分四邊形的外角?$∠MBC$?和
?$∠NDC，$?
所以?$∠CBG=\frac {1}{2}∠MBC，$??$∠CDG=\frac {1}{2}∠NDC，$?
所以?$∠CBG+∠CDG=\frac {1}{2}∠MBC+\frac {1}{2}∠NDC$?
?$=\frac {1}{2}(∠MBC+∠NDC)=\frac {1}{2}(α+β)。$?
?$ $?在?$\triangle BCD $?中，
?$∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，$?
在?$\triangle BDG $?中，
?$∠BGD = 45°，$??$∠GBD+∠GDB+∠BGD = 180°，$?
所以?$∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD = 180°，$?
所以?$(∠CBG+∠CDG)+(∠CBD+∠BDC)+∠BGD = 180°，$?
所以?$\frac {1}{2}(α+β)+180°-β+ 45°=180°，$?
所以?$β-α= 90°。$?
?$ (3)BE// DF。$?
理由如下：
如圖②，延長(zhǎng)?$BC$?交?$DF $?于點(diǎn)?$H，$?
由?$(1)$?知，?$∠MBC+∠NDC=α+β，$?
因?yàn)?$BE，$??$DF $?分別平分四邊形的外角?$∠MBC$?和?
$∠NDC，$?
所以?$∠CBE=\frac {1}{2}∠MBC，$??$∠CDH=\frac {1}{2}∠NDC，$?
所以?$∠CBE+∠CDH=\frac {1}{2}∠MBC+\frac {1}{2}∠NDC$?
?$=\frac {1}{2}(∠MBC+∠NDC)=\frac {1}{2}(α+β)。$?
?$ $?因?yàn)?$∠BCD+∠DCH=∠CDH+∠DHB+∠DCH，$?
所以?$∠BCD=∠CDH+∠DHB，$?
所以?$∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，$?
所以?$∠CBE+β-∠DHB=\frac {1}{2}(α+β)。$?
?$ $?因?yàn)?$α=β，$?
所以?$∠CBE+β-∠DHB=\frac {1}{2}(β+β)=β，$?
所以?$∠CBE=∠DHB，$?
所以?$BE// DF。$?
