解：?$(1)$?延長?$BP{至}E，$?使?$PE=PC，$?連結(jié)?$CE.$?
∵?$∠1=∠2=60°，$??$∠3=∠4=60°，$?
∴?$∠CPE=60°，$?
∴?$△PCE$?是等邊三角形，
∴?$CE=PC，$??$∠E=∠3=60°.$?
又∵?$∠EBC=∠PAC，$?
∴?$△BEC≌△APC，$?
∴?$PA=BE=PB+PE=PB+PC.$?
?$(2)$?過點?$B$?作?$BE⊥PB$?交?$PA$?于?$E.$?
∵?$∠1+∠2=∠2+∠3=90°，$?
∴?$∠1=∠3.$?
又易知?$∠APB=45°，$?
∴?$BP=BE，$?
∴?$PE=\sqrt {2}PB.$?
又∵?$AB=CB，$?
∴?$△ABE≌△CBP，$?
∴?$PC=AE，$?
∴?$PA=AE+PE=PC+\sqrt {2}PB.$?
?$(3)PA、$??$PB、$??$PC$?滿足關(guān)系式：?$PA=PC+\sqrt {3}PB.$?
理由如下：
在?$AP{上截取}AQ=PC，$?連結(jié)?$BQ，$?過點?$B$?作?$BM⊥PQ{于}M.$?
∵?$∠BAP=∠BCP，$??$AB=CB，$?
∴?$△ABQ≌△CBP，$?
∴?$BQ=BP.$?
又易知?$∠APB=30°，$?
∴?$PQ=\sqrt {3}PB，$?
∴?$PA=AQ+PQ=PC+\sqrt {3}PB.$?
