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$\frac{1}{2}$
證明：?$(1)$?連接?$OD。$?
?$ $?因為?$AB$?為?$\odot O$?的切線，
所以?$OD\perp AB，$?
則?$∠ODA = 90°，$?
所以?$∠AOD+∠A = 90°。$?
?$ $?因為?$OC = OD，$?
所以?$∠ACD=∠ODC，$?
所以?$∠AOD=∠ACD+∠ODC = 2∠ACD，$?
所以?$2∠ACD+∠A = 90°。$?
?$ $?因為?$∠ACB = 90°，$?
所以?$∠ABC+∠A = 90°，$?
所以?$∠ABC = 2∠ACD。$?
?$(2)$?設(shè)?$\odot O$?的半徑為?$r，$?則?$OD = OC = r，$??$OA = 8 - r。$?
?$ $?因為?$∠ACB = 90°，$??$AC = 8，$??$BC = 6，$?
在?$Rt\triangle ACB$?中，根據(jù)勾股定理?$AB=\sqrt {6^2+8^2} = 10。$?
?$ $?因為?$∠ACB = 90°，$??$OC$?是?$\odot O$?的半徑，
所以?$BC$?是?$\odot O$?的切線。
?$ $?因為?$AB$?切?$\odot O$?于點?$D，$?
所以?$BD = BC = 6，$?
所以?$AD = AB - BD = 4。$?
?$ $?在?$Rt\triangle ODA$?中，由勾股定理，得?$OD^2+AD^2=OA^2，$?
即?$r^2+4^2=(8 - r)^2，$?
?$ $?展開得?$r^2+16 = 64-16r+r^2，$?
?$ $?移項得?$16r = 64 - 16，$?
?$ $?解得?$r = 3，$?
所以?$\odot O$?的半徑為?$3。$?
證明：?$(1)$?∵四邊形?$ABCD$?是正方形，
∴?$∠DAB=∠B=∠D=∠DCB=90°，$?
?$AB=BC=CD=AD，$?
∴?$DA$?和?$CD$?都是圓?$B$?的切線?$.$?
∵?$PQ{切圓}B$?于?$F，$?
∴?$AP=PF，$??$QF=CQ，$?
∴?$△DPQ $?的周長是?$DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF$?
?$=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD=8.$?
∵正方形?$ABCD$?的周長?$=4×4=16，$?
∴?$△DPQ $?的周長等于正方形?$ABCD$?的周長的一半?$.$?
?$(2)$?解：∵在?$Rt△PDQ $?中，?$DP^2+DQ^2=PQ^2，$?
∴?$(4-x)^2+(4-CQ)^2=(x+CQ)^2，$?
解得?$CQ=\frac {16-4x}{x+4}，$?
∴?$DQ=4-\frac {16-4x}{x+4}=\frac {8x}{x+4}.$?
∵四邊形?$ABCD$?是正方形，
∴?$AD∥BC，$?
∴?$△PDQ∽△MCQ，$?
∴?$\frac {DP}{CM}=\frac {DQ}{CQ}，$?即?$\frac {4-x}{y-4}=\frac {\frac {8x}{x+4}}{\frac {16-4x}{x+4}}，$?
整理可得?$y=\frac {8}{x}+\frac {1}{2}x.$?
因此?$y$?與?$x$?之間的函數(shù)關(guān)系式是?$y=\frac {8}{x}+\frac {1}{2}x.$?
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