解：?$(1)$?當?$t = 4$?時，?$l=\frac {1}{2}t^2+\frac {3}{2}t=\frac {1}{2}×4^2+\frac {3}{2}×4=8 + 6 = 14，$?
所以甲運動?$4\ \mathrm {s} $?的路程是?$14\ \mathrm {cm}。$?
?$(2)$?由題圖，可知甲、乙從開始運動到第一次相遇，運動的路程和為?$21\ \mathrm {cm}，$?
則?$\frac {1}{2}t^2+\frac {3}{2}t+4t=21，$?
?$ $?整理得?$t^2+3t + 8t - 42 = 0，$?即?$t^2+11t - 42 = 0，$?
?$ $?分解因式得?$(t - 3)(t + 14)=0，$?
?$ $?解得?$t_{1}=3，$??$t_{2}=-14($?不合題意，舍去）。
答：甲、乙從開始運動到第一次相遇，它們運動了?$3\ \mathrm {s}。$?
?$(3)$?由題圖，可知甲、乙從開始運動到第二次相遇，運動的路程和為三個半圓弧的長，
即?$21×3 = 63\ \mathrm {cm}，$?則?$\frac {1}{2}t^2+\frac {3}{2}t+4t=63，$?
?$ $?整理得?$t^2+3t + 8t - 126 = 0，$?即?$t^2+11t - 126 = 0，$?
?$ $?分解因式得?$(t - 7)(t + 18)=0，$?
?$ $?解得?$t_{1}=7，$??$t_{2}=-18($?不合題意，舍去）。
答：甲、乙從開始運動到第二次相遇，它們運動了?$7\ \mathrm {s}。$?
