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第19頁

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解：對于方程$\frac{1}{2}x(x + 2)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x，$
去括號得$\frac{1}{2}x^{2}+x=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x，$
移項得$\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}=0，$
整理得$2x^{2}+6x - 3 = 0，$
其中$a = 2，$$b = 6，$$c = -3，$
$?=b^{2}-4ac=6^{2}-4×2×(-3)=36 + 24 = 60，$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}，$
所以$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}，$$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}。$
解：對于方程$(5x - 1)(2x + 4)=3x + 6，$
去括號得$10x^{2}+20x - 2x - 4 = 3x + 6，$
移項得$10x^{2}+20x - 2x - 3x - 4 - 6 = 0，$
整理得$10x^{2}+15x - 10 = 0，$
兩邊同時除以$5$得$2x^{2}+3x - 2 = 0，$
因式分解得$(2x - 1)(x + 2)=0，$
所以$2x - 1 = 0$或$x + 2 = 0，$
解得$x_{1}=\frac{1}{2}，$$x_{2}=-2。$
解：對于方程$4(2x - 1)^{2}-9(x + 1)^{2}=0，$
利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)，$
則$[2(2x - 1)+3(x + 1)][2(2x - 1)-3(x + 1)]=0，$
即$(4x - 2 + 3x + 3)(4x - 2 - 3x - 3)=0，$
$(7x + 1)(x - 5)=0，$
所以$7x + 1 = 0$或$x - 5 = 0，$
解得$x_{1}=5，$$x_{2}=-\frac{1}{7}。$
解：對于方程$4(t - 5)^{2}+4(5 - t)+1=0，$
令$m = t - 5，$則原方程可化為$4m^{2}-4m + 1 = 0，$
因式分解得$(2m - 1)^{2}=0，$
所以$2m - 1 = 0，$
解得$m=\frac{1}{2}，$
即$t - 5=\frac{1}{2}，$
解得$t_{1}=t_{2}=\frac{11}{2}。$
解：根據(jù)題意，得$m\neq0，$且$b^{2}-4ac=[-(3m - 1)]^{2}-4m(2m - 1)=m^{2}-2m + 1 = 1，$
即$m^{2}-2m=0，$
因式分解得$m(m - 2)=0，$
解得$m_{1}=0$（不合題意，舍去），$m_{2}=2。$
所以$m = 2，$原方程為$2x^{2}-5x + 3 = 0，$
因式分解得$(2x - 3)(x - 1)=0，$
所以$2x - 3 = 0$或$x - 1 = 0，$
解得$x_{1}=\frac{3}{2}，$$x_{2}=1。$
解?$：(1)$?由方程?$x^2-(2k + 3)x + k^2+3k + 2 = 0，$?得?$b^2-4ac=[-(2k + 3)]^2-4(k^2+3k + 2)=1＞0，$?
所以無論?$k$?取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。
利用求根公式解方程，得?$x_{1}=k + 1，$??$x_{2}=k + 2。$?
?$ $?設(shè)?$AB = k + 1，$??$AC = k + 2。$?因為第三邊?$BC$?的長為?$5，$?
?$ $?所以當(dāng)?$\triangle ABC$?是直角三角形時，分兩種情況討論：
?$ ①$?當(dāng)?$BC$?是斜邊時，有?$AB^2+AC^2=BC^2，$?即?$(k + 1)^2+(k + 2)^2=5^2，$?
?$ $?展開得?$k^2+2k + 1 + k^2+4k + 4 = 25，$?
?$ $?整理得?$2k^2+6k - 20 = 0，$?即?$k^2+3k - 10 = 0，$?
?$ $?因式分解得?$(k - 2)(k + 5)=0，$?
?$ $?解得?$k_{1}=2，$??$k_{2}=-5($?不合題意，舍去）；
?$ ②$?當(dāng)?$AC$?是斜邊時，有?$AB^2+BC^2=AC^2，$?即?$(k + 1)^2+5^2=(k + 2)^2，$?
?$ $?展開得?$k^2+2k + 1 + 25 = k^2+4k + 4，$?
?$ $?移項得?$2k = 22，$?
?$ $?解得?$k = 11。$?
?$ $?所以當(dāng)?$k = 2$?或?$11$?時，?$\triangle ABC$?是直角三角形。
?$(2)$?由?$(1)，$?不妨設(shè)?$AB = k + 1，$??$AC = k + 2。$?因為?$BC = 5，$?
?$ $?所以當(dāng)?$\triangle ABC$?是等腰三角形時，分兩種情況討論：
?$ ①$?當(dāng)?$AC = BC = 5$?時，?$k + 2 = 5，$?所以?$k = 3，$?則?$AB = 4，$?此時?$\triangle ABC$?的周長為?$4 + 5 + 5 = 14；$?
?$ ②$?當(dāng)?$AB = BC = 5$?時，?$k + 1 = 5，$?所以?$k = 4，$?則?$AC = 6，$?此時?$\triangle ABC$?的周長為?$5 + 5 + 6 = 16。$?
綜上所述，當(dāng)?$k = 3$?或?$4$?時，?$\triangle ABC$?是等腰三角形，?$\triangle ABC$?的周長分別是?$14$?或?$16。$?
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