解：?$(2)\begin {cases}1\leqslant x\leqslant 3， \\ax - 3<\frac {1}{2}x + 2\end {cases}$?
解不等式?$ax - 3<\frac {1}{2}x + 2，$?得?$(2a - 1)x<10。$?
當?$2a - 1>0，$?即?$a>\frac {1}{2}$?時，?$x<\frac {10}{2a - 1}。$?
因為?$d = 2，$??$1\leqslant x\leqslant 3，$??$3 - 1 = 2，$?
所以?$\frac {10}{2a - 1}\geqslant 3，$?解得?$a\leqslant \frac {13}{6}，$?
所以?$\frac {1}{2}<a\leqslant \frac {13}{6}；$?
當?$2a - 1<0，$?即?$a<\frac {1}{2}$?時，?$x>\frac {10}{2a - 1}。$?
因為?$d = 2，$??$1\leqslant x\leqslant 3，$??$3 - 1 = 2，$?
所以?$\frac {10}{2a - 1}\leqslant 1，$?解得?$a\leqslant \frac {11}{2}，$?
所以?$a<\frac {1}{2}；$?
當?$a=\frac {1}{2}$?時，不等式組的解集為?$1\leqslant x\leqslant 3，$?滿足
題意。
綜上所述，?$a$?的取值范圍是?$a\leqslant \frac {13}{6}。$?
?$(3)\begin {cases}1\leqslant x\leqslant 3， \\a ≤x≤\frac {1}{2}a + 2\end {cases}$?
當?$a\leqslant 1＜3\leqslant \frac {1}{2}a + 2$?時，這種情況不存在。
當?$a\leqslant 1＜\frac {1}{2}a + 2\leqslant 3$?時，不等式組的解集為
?$1\leqslant x\leqslant \frac {1}{2}a + 2。$?
因為?$d=\frac {3}{2}，$?
所以?$\frac {1}{2}a + 2-1=\frac {3}{2}，$?解得：?$a=1$?
當?$1\leqslant a＜\frac {1}{2}a + 2\leqslant 3$?時，不等式組的解集為
?$a\leqslant x\leqslant \frac {1}{2}a + 2，$?
所以?$\frac {1}{2}a + 2-a=\frac {3}{2}，$?解得：?$a=1$?
當?$1\leqslant a＜3\leqslant \frac {1}{2}a + 2，$?不等式組的解集為
?$a\leqslant x\leqslant 3，$?
所以?$3 - a=\frac {3}{2}，$?解得：?$a=\frac {3}{2}$?
此時?$\frac {1}{2}a + 2=\frac {11}{4}＜3，$?不符合
?$1\leqslant a＜3\leqslant \frac {1}{2}a + 2；$?
當?$\frac {1}{2}a + 2＜1$?或?$a＞3$?時，不等式組無解。
綜上所述，?$a = 1。$?
不等式組?$\begin {cases}y + 1＞m\\ay - 1\leqslant 2m\end {cases}$?為?$\begin {cases}y + 1＞m\\y - 1\leqslant 2m\end {cases}$?
解得：?$m - 1＜y\leqslant 2m + 1。$?
?$2m + 1-(m - 1)=m + 2，$?
當?$3＜m + 2＜5$?時，該不等式組可能恰好有?$4$?個
“整點”，此時?$1＜m＜3，$?則?$0＜m - 1＜2。$?
?$①$?當?$1＜m＜2$?時，即?$0＜m - 1＜1，$?要使得該不
等式組恰好有?$4$?個?$“$?整點?$”，$?則?$4\leqslant 2m + 1＜5，$?
解得：?$\frac {3}{2}\leqslant m＜2$?
?$②$?當?$2\leqslant m＜3$?時，即?$1\leqslant m - 1＜2，$?要使得該
不等式組恰好有?$4$?個?$“$?整點?$”，$?則?$5\leqslant 2m + 1＜6，$?
解得：?$2\leqslant m＜\frac {5}{2}$?
綜合?$①②$?可得?$\frac {3}{2}\leqslant m＜\frac {5}{2}。$?
