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第30頁

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解：設(shè)大、小正方形的邊長分別為?$a，$??$b，$?
則?$a + b = 18。$?
由題圖①知，?$S_{陰影}=\frac {1}{2}ab = 40，$?
所以?$ab = 80。$?
由題圖②知，?
$S_{陰影}=a^2+\frac {1}{2}(a + b)b-\frac {1}{2}a^2-\frac {1}{2}ab=\frac {a^2+b^2}{2}。$?
因為?$a + b = 18，$??$ab = 80，$?
所以?$a^2+b^2=(a + b)^2-2ab=18^2-2×80 = 164，$?
所以陰影部分的面積為?$\frac {a^2+b^2}{2}=82。$?

解：如圖，得到?$ED = 6 - a，$?
?$HG = b-(6 - a)=a + b - 6，$??$BQ = 6 - b。$?
因為長方形的周長為?$16，$?面積為?$15.75，$?
所以?$a + b=\frac {16}{2}=8，$??$ab = 15.75。$?
所以?$S_{1}+S_{2}+S_{3}=(6 - a)^2+(8 - 6)^2+(6 - b)^2$?
?$=72-12(a + b)+4+a^2+b^2$?
?$=72-12×8 + 4+(a + b)^2-2ab$?
?$=72-96 + 4+64-2×15.75 $?
?$= 12.5$?
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解：?$(2)$?設(shè)?$2025 - x = c，$??$2023 - x = d，$?
則?$c - d=(2025 - x)-(2023 - x)=2，$?
?$(2025 - x)(2023 - x)=cd，$?
所以?$(2025 - x)^2+(2023 - x)^2=c^2+d^2$?
?$=(c - d)^2+2cd = 4056，$?
即?$2^2+2cd = 4056，$?解得?$cd = 2026，$?
即?$(2025 - x)(2023 - x)=2026。$?
?$(3)$?因為正方形?$ABCD$?的邊長為?$x，$??$AE = 1，$?
?$CG = 2，$?
所以?$DE = x - 1，$??$DG = x - 2。$?
因為四邊形?$NGDH$?和?$MEDQ $?都是正方形，四邊
形?$PQDH$?是長方形，長方形?$EFGD$?的面積是?$5，$?
所以?$DE = EM = MQ = QD = x - 1，$?
?$DG = GN = NH = HD = x - 2，$?
所以?$S_{長方形EFGD}=(x - 1)(x - 2)=5，$?
?$S_{正方形MEDQ}=(x - 1)^2，$?
?$S_{正方形NGDH}=(x - 2)^2，$?
?$S_{長方形PQDH}=(x - 1)(x - 2)=5，$?
設(shè)?$x - 1 = a，$??$x - 2 = b，$?則
?$a - b=(x - 1)-(x - 2)=1，$?
?$ab=(x - 1)(x - 2)=5，$?
所以陰影部分的面積?$=S_{長方形EFGD}+S_{正方形MEDQ}+$?
?$S_{正方形NGDH}+S_{長方形PQDH}$?
?$=5+(x - 1)^2+(x - 2)^2+5$?
?$=a^2+b^2+10$?
因為?$(a - b)^2=a^2+b^2-2ab，$?
即?$1^2=a^2+b^2-10，$?解得?$a^2+b^2=11，$?
所以?$a^2+b^2+10=21，$?即陰影部分的面積為?$21。$?
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