解：①設(shè)購買一個甲種品牌毽子需要$x$元，購買一個乙種品牌毽子需要$y$元。
根據(jù)題意可得方程組$\begin{cases}10x + 5y = 200\\15x + 10y = 325\end{cases}。$
將第一個方程兩邊同時乘以$2$得$20x+10y = 400。$
用$20x + 10y = 400$減去$15x + 10y = 325$得：
$20x+10y-(15x + 10y)=400 - 325，$
$20x+10y - 15x - 10y = 75，$
$5x = 75，$解得$x = 15。$
把$x = 15$代入$10x + 5y = 200$得：
$10\times15+5y = 200，$
$150+5y = 200，$
$5y = 50，$解得$y = 10。$
所以購買一個甲種品牌毽子需要$15$元，購買一個乙種品牌毽子需要$10$元。
②設(shè)購買甲種品牌毽子$m$個，購買乙種品牌毽子$n$個。
由題意得$\begin{cases}15m + 10n = 1000\\m\geqslant5n\\m\leqslant16n\end{cases}。$
由$15m + 10n = 1000$可得$m=\frac{1000 - 10n}{15}=\frac{200 - 2n}{3}。$
將$m=\frac{200 - 2n}{3}$代入$m\geqslant5n$得：$\frac{200 - 2n}{3}\geqslant5n，$
$200 - 2n\geqslant15n，$
$17n\leqslant200，$$n\leqslant\frac{200}{17}\approx11.76。$
將$m=\frac{200 - 2n}{3}$代入$m\leqslant16n$得：$\frac{200 - 2n}{3}\leqslant16n，$
$200 - 2n\leqslant48n，$
$50n\geqslant200，$$n\geqslant4。$
因為$n$為正整數(shù)，所以$n = 4，$$7，$$10。$
當(dāng)$n = 4$時，$m=\frac{200-2\times4}{3}=\frac{192}{3}=64；$
當(dāng)$n = 7$時，$m=\frac{200-2\times7}{3}=\frac{186}{3}=62；$
當(dāng)$n = 10$時，$m=\frac{200-2\times10}{3}=\frac{180}{3}=60。$
所以有三種購買方案：甲購買$60$個，乙購買$10$個；甲購買$62$個，乙購買$7$個；甲購買$64$個，乙購買$4$個。
③設(shè)總利潤為$W$元，則$W = 5m + 4n。$
由$15m + 10n = 1000$得$n = 100-\frac{3}{2}m。$
$W = 5m + 4(100-\frac{3}{2}m)=5m + 400 - 6m = 400 - m。$
因為$W$隨$m$的增大而減小，所以當(dāng)$m = 60$時，$W$有最大值。
此時$n = 10，$$W_{max}=400 - 60 = 340。$
所以甲購買$60$個，乙購買$10$個時，商家獲利最大，最大利潤為$340$元。
