解：（1）$y = mx^{2}-2mx + n=m(x - 1)^{2}+n - m，$所以頂點$A(1,n - m)，$$D(0,n)。$
設(shè)直線$AD$的表達式為$y = kx + b，$把$A(1,n - m)，$$D(0,n)$代入得：
$\begin{cases}k + b=n - m\\b = n\end{cases}，$
解得$\begin{cases}k=-m\\b = n\end{cases}，$所以直線$AD$的表達式為$y=-mx + n。$
令$y = 0，$則$-mx + n = 0，$$x=\frac{n}{m}，$所以$E(\frac{n}{m},0)。$
因為$S_{\triangle DEC}:S_{\triangle AEC}=3:4，$所以$\frac{DE}{AE}=\frac{3}{4}，$則$\frac{OE}{OA}=\frac{3}{1}，$$OA = 1，$所以$OE = 3，$又因為$m\lt0，$所以$\frac{n}{m}=-3，$即$E(-3,0)。$
（2）設(shè)$B(x_1,0)，$$C(x_2,0)，$由韋達定理得$x_1 + x_2 = 2，$$x_1x_2=\frac{n}{m}。$
$AC^{2}=(x_2 - 1)^{2}+(n - m)^{2}，$$AE^{2}=(1 + 3)^{2}+(n - m)^{2}=16+(n - m)^{2}，$$CE^{2}=(x_2 + 3)^{2}。$
當(dāng)$\angle AEC = 90^{\circ}$時，$AE^{2}+CE^{2}=AC^{2}，$不成立。
當(dāng)$\angle EAC = 90^{\circ}$時，$AE^{2}+AC^{2}=CE^{2}，$
因為$E(-3,0)，$$A(1,n - m)，$$C(x_2,0)，$$x_1 + x_2 = 2，$$x_1x_2=\frac{n}{m}，$且$\frac{n}{m}=-3，$
可得$n=\frac{3\sqrt{2}}{2}，$$m=-\frac{\sqrt{2}}{2}，$此時二次函數(shù)表達式為$y =-\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}+\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}。$
當(dāng)$\angle ACE = 90^{\circ}$時，$AC^{2}+CE^{2}=AE^{2}，$不成立。
所以$\triangle AEC$能是直角三角形，$y =-\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}+\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}。$
