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電子課本網(wǎng) 第44頁

第44頁

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$1.2$
$200m^{2}$
解:(1) 因?yàn)閷?duì)稱軸為$x=-\frac{2}=-\frac{1}{2},$所以$b = 1。$
又因?yàn)楹瘮?shù)$y=x^{2}+bx + c$過$A(-2,5),$所以$5=(-2)^{2}+(-2)\times1 + c,$$5 = 4-2 + c,$$c = 3,$二次函數(shù)表達(dá)式為$y=x^{2}+x + 3。$
(2) 點(diǎn)$B(1,7)$向上平移$2$個(gè)單位長度,向左平移$m(m>0)$個(gè)單位長度后坐標(biāo)為$(1 - m,9)。$
把$(1 - m,9)$代入$y=x^{2}+x + 3$得$9=(1 - m)^{2}+(1 - m)+3,$
$9=1-2m+m^{2}+1 - m+3,$$m^{2}-3m - 4=0,$$(m - 4)(m + 1)=0,$因?yàn)?m>0,$所以$m = 4。$
(3) $y=x^{2}+x + 3=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4},$對(duì)稱軸為$x=-\frac{1}{2}。$
當(dāng)$-2\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}$時(shí),$y$隨$x$的增大而減?。划?dāng)$x>-\frac{1}{2}$時(shí),$y$隨$x$的增大而增大。
當(dāng)$x=-2$時(shí),$y=(-2)^{2}+(-2)+3 = 5;$當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時(shí),$y=\frac{11}{4}。$
① 當(dāng)$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$時(shí),$y_{max}=5,$$y_{min}=\frac{11}{4},$$y_{max}-y_{min}=5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4},$滿足條件。
② 當(dāng)$n>1$時(shí),$y_{max}=n^{2}+n + 3,$$y_{min}=\frac{11}{4},$$n^{2}+n + 3-\frac{11}{4}=\frac{9}{4},$$n^{2}+n - 2=0,$$(n + 2)(n - 1)=0,$解得$n = 1$(舍去)或$n=-2$(舍去)。
所以$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1。$
解:(1) 把$A(-1,0),$$C(0,3)$代入$y=ax^{2}-2ax + c$得
$\begin{cases}a + 2a + c=0\\c = 3\end{cases},$
把$c = 3$代入$a + 2a + c=0$得$3a+3 = 0,$$a=-1。$
所以二次函數(shù)表達(dá)式為$y=-x^{2}+2x + 3。$
$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4,$所以頂點(diǎn)$D(1,4)。$
(2) 令$y = 0,$則$-x^{2}+2x + 3=0,$$x^{2}-2x - 3=0,$$(x - 3)(x + 1)=0,$解得$x_1 = 3,$$x_2=-1,$所以$B(3,0)。$
設(shè)直線$BC$的方程為$y=kx + d,$
把$B(3,0),$$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k + d=0\\d = 3\end{cases},$解得$k=-1,$$d = 3,$
$y=-x + 3。$
設(shè)$E(t,-t^{2}+2t + 3)(0<t<3),$則$F(t,-t + 3),$$EF=-t^{2}+2t + 3-(-t + 3)=-t^{2}+3t。$
$AB = 4,$$OC = 3,$$BC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}。$
因?yàn)?EF// y$軸,$\angle EFC=\angle OCB。$
當(dāng)$\triangle EFC\sim\triangle BCA$時(shí),$\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{BC},$
$CF=\sqrt{t^{2}+(-t + 3 - 3)^{2}}=\sqrt{2}t,$$\frac{-t^{2}+3t}{4}=\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}},$$\frac{-t^{2}+3t}{4}=\frac{t}{3},$$-3t^{2}+9t = 4t,$$3t^{2}-5t = 0,$$t(3t - 5)=0,$$t=\frac{5}{3},$$EF=-(\frac{5}{3})^{2}+3\times\frac{5}{3}=\frac{20}{9}。$
當(dāng)$\triangle EFC\sim\triangle BAC$時(shí),$\frac{EF}{BC}=\frac{CF}{AB},$$\frac{-t^{2}+3t}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}t}{4},$$-4t^{2}+12t = 6t,$$4t^{2}-6t = 0,$$t(4t - 6)=0,$$t=\frac{3}{2},$$EF=-(\frac{3}{2})^{2}+3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{4}。$
所以$EF=\frac{9}{4}$或$EF=\frac{20}{9}。$