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$(1)解：設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),其中x、y均大于0$

$則OC=x,CF=y.根據(jù)三角形面積公式可得$

$\ S_{ △OCF}=\frac{1}{2}×xy=\sqrt{ 3}$

$∴\ xy=2×\sqrt{ 3},即k=2×\sqrt{ 3}$

$∴ 反比例函數(shù)解析式為y= (\frac{ 2\sqrt{ 3}}{ x})(x＞0)$

$該圓與y軸相離。理由如下:$

$如圖,過點(diǎn)E作EH⊥x軸,垂足為H,過點(diǎn)E作EG⊥y軸,$

$垂足為G在△AOB中,OA=AB=4,$

$∠AOB=∠ABO=∠OAB=60°$

$設(shè)OH=m,則tan∠AOB=\frac{ EH}{ OH}$

$∵ ∠AOB=60°∴ tan∠AOB= \frac{ EH}{ OH}=\sqrt{ 3}$

$\ ∴\ EH=\sqrt{ 3}×m,OE=2m∴ E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,\sqrt{ 3}×m)$

$∵ E在反比例函數(shù)y= (\frac{ 2×\sqrt{ 3}}{ x})圖象上$

$∴ \sqrt{ 3}×m= (\frac{ 2×\sqrt{ 3}}{ m})$

$∴ m=\sqrt{ 2}或m=-\sqrt{ 2}（舍去）$

$∴ OE=2×\sqrt{ 2}、EA=4-2×\sqrt{ 2}、EG=\sqrt{ 2}$

$∵\(yùn) 4-2×\sqrt{ 2}＜\sqrt{ 2}$

$∴ EA＜EG$

$∴ 以E為圓心,EA長為半徑的圓與y軸相離$

（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$(2)解：存在,如圖假設(shè)存在點(diǎn)F,過E點(diǎn)作$

$EH⊥OB于點(diǎn)H$$設(shè)BF=x$

$∵ ∠FBC=60°$

$∴BC=FB×cos∠FBC=\frac{1}{2}×x$

$同理FC= (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 2})×x$

$∴ AF=4-x,OC=OB-BC=4-\frac{1}{2}×x$

$∵ AE⊥FE$

$∴AE=AF×cos∠OAB=2-\frac{1}{2}×x$

$∴OE=OA-AE=\frac{1}{2}×x+2$

$∵ ∠AOB=60°$

$\ ∴OH=OE×cos∠AOB=\frac{1}{4}×x+1$

$同理EH= (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 4})×x+\sqrt{ 3}$

$∴ E點(diǎn)坐標(biāo)為(\frac{1}{4}×x+1, (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 4})×x+\sqrt{ 3})$

$F點(diǎn)坐標(biāo)為(4-\frac{1}{2}×x, (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 2})×x)$

$∵ E、F都在雙曲線y=\frac{ k}{ x}上$

$∴(\frac{1}{4}×x+1)× ( (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 4})×x+\sqrt{ 3})= (4-\frac{1}{2}×x)× (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 2})×x$

$解得x=4或x=\frac{4}{5}$

$當(dāng)BF=4時(shí),AF=0,\frac{ BF}{ AF}不存在,舍去$

$當(dāng)BF=\frac{4}{5}時(shí),AF=\frac{16}{5},\ $

$\frac{ BF}{ AF}=\frac{1}{4}$

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