$解：(1)①S_{1}=a(a+4)={a}^{2}+4a，$
$S_{2}={(a+2)}^{2}={a}^{2}+4a+4$
$②因?yàn)镾_{1}-S_{2}=({a}^{2}+4a)-({a}^{2}+4a+4)=-4＜0，$
$所以S_{1}＜S_{2}$
$(2)因?yàn)镸=N，$
$所以{a}^{2}=4-{(a+1)}^{2}，$
$所以{a}^{2}=4-{a}^{2}-2a-1，$
$所以2{a}^{2}+2a=3，$
$所以a(a+1)={a}^{2}+a=\frac 3 2$
